n常微分方程的一般形式为： y ( k ) p 1 ( x ) y ( n ? 1 ) . . . p n ? 1 ( x ) y ′ p n ( x ) y = f ( x ) , ( 3 ? 1 ) y^{(k) } p_1(x)y^{(n-1)} ... p_{n-1}(x)y^{'} p_n(x)y = f(x), \qquad (3-1) y(k) p1(x)y(n?1) ...+pn−1​(x)y′+pn​(x)y=f(x),(3−1) y ( k ) + p 1 ( x ) y ( n − 1 ) + . . . + p n − 1 ( x ) y ′ + p n ( x ) y = 0 （ 齐 次 ） , ( 3 − 2 ) y^{(k) }+ p_1(x)y^{(n-1)}+...+ p_{n-1}(x)y^{'}+ p_n(x)y = 0（齐次）, \qquad (3-2) y(k)+p1​(x)y(n−1)+...+pn−1​(x)y′+pn​(x)y=0（齐次）,(3−2)

定理1： 叠加原理 如果 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , . . . , y k ( x ) y_1(x),y_2(x),...,y_k(x) y1​(x),y2​(x),...,yk​(x)为方程(3-2)的k个解，则对任意常数： C 1 , C 2 , . . . , C k C_1,C_2,...,C_k C1​,C2​,...,Ck​，函数 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + . . . + C k y k ( x ) y= C_1y_1(x)+ C_2y_2(x)+...+C_ky_k(x) y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)+...+Ck​yk​(x)也是方程的解。

定义1： 设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , . . . , y k ( x ) y_1(x),y_2(x),...,y_k(x) y1​(x),y2​(x),...,yk​(x)定义在区间I上，存在不全为零的常数 C 1 , C 2 , . . . , C k C_1,C_2,...,C_k C1​,C2​,...,Ck​使得 ∀ x ∈ I \forall x \in I ∀x∈I有 C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + . . . + C k y k ( x ） = 0 C_1y_1(x)+ C_2y_2(x)+...+C_ky_k(x）= 0 C1​y1​(x)+C2​y2​(x)+...+Ck​yk​(x）=0则称这n个函数在区间I上是线性相关的，否则线性无关。

定义2： 由定义在区间I上的n个n-1次函数 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , … , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x) y1​(x),y2​(x),…,yn​(x)构成的行列式 W ( x ) = ∣ y 1 ( x ) y 2 ( x ) ⋯ y k ( x ) y 1 ′ ( x ) y 2 ′ ( x ) ⋯ y k ′ ( x ) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ y 1 n − 1 ( x ) y 2 n − 1 ( x ) ⋯ y k n − 1 ( x ) ∣ W(x)=\left | \begin{array}{cccc} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_k(x)\\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_k'(x)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ y_1^{n-1}(x) & y_2^{n-1}(x) & \cdots & y_k^{n-1}(x)\\ \end{array} \right| W(x)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​y1​(x)y1′​(x)⋮y1n−1​(x)​y2​(x)y2′​(x)⋮y2n−1​(x)​⋯⋯⋯⋯​yk​(x)yk′​(x)⋮ykn−1​(x)​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​称为这n个函数的朗斯基行列式(Wronsky).

定理2： n阶齐次线性方程(3-2)的n个解 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , … , y k ( x ) y_1(x),y_2(x),\ldots,y_k(x) y1​(x),y2​(x),…,yk​(x)定义在区间I上线性无关的充要条件是在I上存在 点 x 0 x_0 x0​ 使得他们的朗斯基行列式 W ( x 0 ) ≠ 0 W(x_0) \neq 0 W(x0​)​=0 .

定理3： 若n个解 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , … , y k ( x ) y_1(x),y_2(x),\ldo