接下来，这本书介绍了一点小波分析的理论知识，现在介绍了第三章：信号特征提取理论，并附有一些其他参考文献和Matlab补充程序。

前面提到提到的，离散波变换是尺度参数a和平移参数b的离散，通常是米数级的离散，即使 a = a o m a=a_o^m a=aom，若特殊化取 a 0 = 2 a_0=2 a0=2，然后保持平移参数b是连续的，所以这种小波称为二进小波变换。综上所述，二进小波变换的概念介于CWT和DWT相比之下比CWT，二进小波变换的尺度参数特别离散（ a 0 = 2 a_0=2 a0=2）；相比于DWT，二进小波变换的尺度参数不能随意离散，而是特殊离散化的（ a = 2 m a=2^m a=2m），平移参数b是保持连续变化。

根据前面所介绍的，在对信号进行采样后对信号进行小波分解，得到两个信号，一个高频一个低频。低频部分通常包含了信号的主要信息，可以再将分解得到的低频信号在做多层分解得到更低频的部分和相对高频的信号。数学表达式为 S = A i + Σ n = 1 i D n S=A_i+\varSigma_{n=1}^{i} D_n S=Ai​+Σn=1i​Dn​。其中i为分解层数，S为信号，A为逼近信号（低频），D为细节信号（高频）。若要得到信号特征则在分解后对边界的处理和滤波，这是两种主要的特征提取的处理方法。

在数字图像处理中有所学过图像边缘检测，主要用的是一阶微分算子和二阶微分算子（Roberts，Prewitt，Sobel，Laplacian）等等，这些都是在原始图像上进行的，及一些在频率域上的算子（LOG，Canny）利用Fourier变换进行边缘检测。小波理论认为在原图上的边缘提取不利于区分图像中小的结构轮廓和大的结构轮廓，而且从这种单一的边缘信息来恢复原始图像也不会取得很好的结果。同理在瞬态信号中也是一样的。所以我们把边缘提取和小波理论相结合，产生多尺度边缘的概念。

将原始信号进行小波分解之后，小波矢量 ( W 2 j 1 f , W 2 j 2 f ) j ∈ Z (W_{2j}^1f,W_{2j}^2f)_{j \in \mathbb Z} (W2j1​f,W2j2​f)j∈Z​​的模的局部极大值就对应着图像的突变点，即边缘。小波矢量的方向则近似垂直于边缘的切线方向。可以利用一类特殊的小波函数对图像进行分解，引入一种快速算法，在各个尺度上寻找模极大值来确定图像结构边缘位臵，由于变换位于各个尺度上，故称之为多尺度边缘。

前面已经介绍了关于瞬态信号的Mallat算法，对于图像信号有类似的的Mallat算法，这里做一个简单介绍就过了。

二维Mallat算法其分解公式： c i + 1 [ l 1 , l 2 ] = ∑ k 1 , k 2 h [ k 1 − 2 l 1 ] h [ k 2 − s l 2 ] c i [ k 1 , k 2 ] d i + 1 1 [ l 1 , l 2 ] = ∑ k 1 , k 2 h [ k 1 − 2 l 1 ] g [ k 2 − 2 l 2 ] c i [ k 1 , k 2 ] d i + 1 2 [ l 1 , l 2 ] = ∑ k 1 , k 2 g [ k 1 − 2 l 1 ] h [ k 2 − 2 l 2 ] c i [ k 1 , k 2 ] d i + 1 3 [ l 1 , l 2 ] = ∑ k 1 , k 2 g [ k 1 − 2 l 1 ] g [ k 2 − 2 l 2 ] c i [ k 1 , k 2 ] c_{i+1}[l_1,l_2]=\sum_{k_1,k_2}h[k_1-2l_1]h[k_2-sl_2]c_i[k_1,k_2]\\ d_{i+1}^1[l_1,l_2]=\sum_{k_1,k_2}h[k_1-2l_1]g[k_2-2l_2]c_i[k_1,k_2]\\ d_{i+1}^2[l_1,l_2]=\sum_{k_1,k_2}g[k_1-2l_1]h[k_2-2l_2]c_i[k_1,k_2]\\ d_{i+1}^3[l_1,l_2]=\sum_{k_1,k_2}g[k_1-2l_1]g[k_2-2l_2]c_i[k_1,k_2]\\ ci+1​[l1​,l2​]=k1​,k2​∑​h[k1​−2l1​]h[k2​−sl2​]ci​[k1​,k2​]di+11​[l1​,l2​]=k1​,k2​∑​h[k1​−2l1​]g[k2​−2l2​]ci​[k1​,k2​]di+12​[l1​,l2​]=k1​,k2​∑​g[k1​−2l1​]h[k2​−2l2​]ci​[k1​,k2​]di+13​[l1​,l2​]=k1​,k2​∑​g[k1​−2l1​]g[k2​−2l2​]ci​[k1​,k2​] 重构公式为： c i [ l 1 , l 2 ] = ∑ k 1 , k 2 h ~ [ l 1 − 2 k 1 ] h ~ [ l 2 − 2 k 2 ] c i + 1 [ k 1 , k 2 ] + ∑ k 1 , k 2 h ~ [ l 1 − 2 k 1 ] g ~ [ l 2 − 2 k 2 ] d i + 1 1 [ k 1 , k 2 ] + ∑ k 1 , k 2 g ~ [ l 1 − 2 k 1 ] h ~ [ l 2 − 2 k 2 ] d i + 1 2 [ k 1 , k 2 ] + ∑ k 1 , k 2 g ~ [ l 1 − 2 k 1 ] g ~ [ l 2 − 2 k 2 ] d i + 1 3 [ k 1 , k 2 ] c_i[l_1,l_2]=\sum_{k_1,k_2}\tilde {h}[l_1-2k_1]\tilde h[l_2-2k_2]c_{i+1}[k_1,k_2]\\ +\sum_{k_1,k_2}\tilde {h}[l_1-2k_1]\tilde g[l_2-2k_2]d_{i+1}^1[k_1,k_2]\\ +\sum_{k_1,k_2}\tilde {g}[l_1-2k_1]\tilde h[l_2-2k_2]d_{i+1}^2[k_1,k_2]\\ +\sum_{k_1,k_2}\tilde {g}[l_1-2k_1]\tilde g[l_2-2k_2]d_{i+1}^3[k_1,k_2]\\ ci​[l1​,l2​]=k1​,k2​∑​h~[l1​−2k1​]h