1. 集合与元素 (1)集合:大写字母表示一些可识别的不同对象A (2)元素:组成集合对象，小写字母表示a
2. 表示：枚举法 { a ,e, i, o, u}，谓词法 A={x|x 英文字母表中的元音字母}
3. 集合关系 （1）A 是 B 的子集（B 包含 A），记为 A?B，A?B??x(x∈A→x∈B) （2）A 是 B 真子集，记为 A?B，A?B?(A?B∧A≠B) (3)全集，记为 U 或 E，U={x|P(x)∨?P(x)}；空集，记为，={x|P(x) ∧?P(x)} （4）A 幂集是指所有子集的集合，是一集，记为 P(A)， P(A)={B|B?A}，?∈P(A)，A∈P(A) (5)集合的基数或潜力，以及集合中元素或测量集合大小的数量，记录为|A|
4. 集合间的运算 （1）并 A∪B，交 A∩B，差 A-B，补 ~A (2)吸收律:A∪(A∩B)=A ；A∩(A∪B)=A (3)德摩根律: ~ (A∪B) = ~ A ∩ ~ B; ~ (A∩B)= ~ A∪~B (4)分配律: ?? [1] A∪(B∩C)= (A∪B) ∩ (A∪C); ?? [2] A∩(B∪C)= (A∩B) ∩∪ (A∩C);

1. 有序对：两个元素 x 和 y按一定顺序排列的有序组称为有序对，记录<x,y>。 （1）有序对<x,y>具有以下性质： ?? [1] 当 x≠y 时，<x,y>≠<y,x> ?? [2] <x,y>=<u,v>充分必要的条件是 x=u且 y=v
2. 笛卡尔积: 设 A、B 用于两个集合 A 中等元素为第一元素，B 第二元素中的元素构成有序对，所有这些有序对所有组成的集合称为 A 与 B 记做笛卡尔积 A×B；操作性质如下： (1)任意集合 A，根据定义，有 A×?＝?，?×A＝? (2)一般来说，笛卡尔积不符合交换律，即 A×B≠B×A（A、B 均不为时间) (3)笛卡尔积不符合法律结合(A×B)×C≠A×(B×C) （A、B、C 均不为时间) (4)笛卡尔积对并，运输满足分配律 ?? [1] A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C) ?? [2] A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C) ?? [3] A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C) ?? [4] A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C) （5）设 A,B,C.D为了集合，有(A?C)∧(B?D) ? (A×B)?(C×D)

3. 二元关系:如果一个集合符合以下条件之一，则称为二元关系，记录为 R。如果<x,y>∈R，可记做 xRy； ?? [1] 收集非空，其元素有序； ?? [2] 集合是空集。 （1）设 A,B为集合，A×B 任何子集定义的二元关系称为从 A 到 B 当 A=B 时则叫做 A 二元关系。 (2)任何集合 A，有三种特殊的二元关系 ?? [1] 空集，叫空关系 ?? [2] 全域关系 E_A={<x,y>|x∈A ∧ y∈A }=A×A ?? [3] 恒等关系 I_A={<x,x>| x∈A }。 （3）A={a,b}，E_A={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>}；I_A={<a,a>,<b,b>}

4. 如果|A|=n, |A×A|=n², A×A 的子集有2^n*n 个，则 A 上有2^n*n二元关系不同。

5. 二元关系的表现： 有三种方的方式有三种:关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 (1)关系矩阵:若 A={x₁, x₂, …, x_m}，B={y₁, y₂, …, y_n}，R 是从 A 到 B 的关系，R 关系矩阵是布尔矩阵 M_R = [ r_ij] _m×n, 其中 r_ij = 1? < x_i, y_j> ∈R (2)关系图:若 A= {x₁, x₂, …, x_m}，R 是从 A 上的关系，R 的关系图是 G_R=<A, R>,其中 A为结点集，R 如果是边集<x_i,x_j>属于关系 R，图中有一条从 x_i到 x_j的有向边。 ?? [1] 关系矩阵适合表示从 A 到 B 的关系或者 A 上的关系（A,B 为有穷集） ?? [2] 关系图适合表示穷集 A 上的关系 （3）集合 A=关系 R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},R 的关系矩阵和关系图如下：
6. 二元关系的运算 （1）关系 R 的定义域 dom R={x| ?y(xRy)}，值域 ran R={y| ?x(xRy)} ?? [1] 例 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>}，则 x元素 domR={1, 2}，y元素 ranR={2, 3, 4} （2）设 R 二元关系，R 逆关系，简称 R 的逆，记作 R^-1，R^-1={<x,y>|yRx} （3）设 F，G 二元关系，G 对 F 右复合记作 F?G，F?G={<x,y>| ?t(xFt∧tGy)} （4）例：R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}，S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, < 3,2>, < 3,3>}， 则 R^?1={<2,1>, < 3,2>, <4,1>, <2,2>}， R°S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}， S°R ={<1,2>, <1,4>, < 3,2>, < 3,3>}

7. 二元关系的性质 定理：设 F，G，H 是任意的关系，则有 ?? [1] (F^-1)^-1=F ?? [2] dom F^-1=ran F, ran F^-1=dom F ?? [3] (F?G)?H=F?(G?H) ?? [4] (F?G)^-1=G^-1?F^-1 (1)例:证明(3)任命<x,y>, <x,y>∈(F°G)°H ? ?t (<x,t>∈F°G∧<t,y>∈H) ? ?t ( ?s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) ? ?t ?s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) ? ?s(<x,s>∈F∧?t (<s,t>∈G∧<t,y>∈)) ⇔ ∃s(<x,s>∈F∧<s,y>∈G°H) ⇔ <x,y>∈F°(G°H) 所以 (F°G)°H = F°(G°H)

8. 二元关系的幂运算 （1）设 R 为 A 上的二元关系，n 为自然数，则 R 的 n 次幂为:(1) R0={<x,x>|x∈A}=I_A ;(2)Rⁿ⁺¹=Rⁿ ◦R （2）定理：设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则 （1）R^m ◦Rⁿ=R^m+n，（2）(R^m)ⁿ=R^mn

9. 二元关系的性质 （1）自反性/反自反性： ∀x(x∈A→xRx) / ∀x(x∈A→x R \frac{}{R} R​ x)    [1] A = {1,2,3}, 自反包含{<1,1>,<2,2>,❤️,3>},对所有的x∈A都符合, 反自反都不含{<1,1>,<2,2>,❤️,3>}中的任一元素    [2] 自反关系矩阵主对角线必须都为1，反自反主对角线都为0. （2）对称性/反对称性： ∀x∀y(x,y∈A∧xRy→yRx) / ∀x∀y(x,y∈A∧xRy∧yRx→x=y)    [1] A = {1,2,3}, R₁={<1,1>,<2,3>,❤️,2>}是对称，xRy和yRx都属于R₁；不是反对称，<2,3>,❤️,2>存在，但是2!=3;    [2] A = {1,2,3},R₂={<1,1>,<2,2>}，对称也是反对称    [3] 对称性关系矩阵沿主对角线对称，反对称性关系矩阵沿主对角线对称元素不能同时为1； （5）传递性： ∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧xRy∧yRz→xRz    [1] 如果有<x,y><y,z>，则必有<x,z>
10. 二元关系的等价
11. 等价关系 设 R 是非空集合 A 上的关系，如果 R 是自反的，对称的和传递的，则称 R 为 A 上 的等价关系。设 R 是一个等价关系，若(x,y)∈R，称 x 等价于 y，记作 x~y。
12. 偏序关系 （1）设 R 为非空集合 A 上的关系，如果 R 是自反的、反对称的和传递的，则称 A 为 R上的偏序关系，记作≼。设≼为偏序关系，如果<x,y> ∈≼,则记作 x ≼y，读作 x“小于或等于”y。 （2）定义：设 R 为非空集合 A 上的偏序关系，定义    [1] ∀x，y∈A，x≺y⇔x ≼y∧x≠y，其中，x≺y 读作 x“小于”y>    [2]∀x，y∈A，x 与 y 可比 ⇔ x ≼y∨y ≼x    [3] 任取两个元素 x 和 y, 可能有下述几种情况发生：x≺y(或 y≺x), x＝y, x 与 y 不是可比的。
13. 全序关系：设 R 为非空集合 A 上的偏序关系，若∀x,y∈A，x 与 y 都是可比的，则称 R 为全序关系（或线序关系）
14. 偏序集：集合 A 与 A 上的偏序关系≼一起叫做偏序集，记作<A, ≼ >

15. 哈斯图: 偏序集 A 中元素结点间直线连接，单个结点上无环，若 x≺y，把结点 x 画到 y 的下方，若不存在 z∈A，使得 x≺z≺y，则在 x 与 y 间连一条线段。

1. 函数 设 F 为二元关系，若∀x∈dom F 都存在唯一的 y∈ran F 使 xFy 成立，则称 F 为函数。对于函数 F，如果有 xFy，则记做 y=F(x)，并称 y 为 F 在 x 点的值。 （1）函数相等：设 F, G 为函数, 则 F=G ⇔ F⊆G∧G⊆F 。如果两个函数 F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件：    [1] domF = domG    [2] ∀x∈domF=domG 都有 F(x)=G(x) （2）从 A 到 B 的函数：设 A, B 为集合，如果 f 为函数，domf=A， ranf⊆B，则称 f 为从 A 到 B 的函数，记作 f： A→B。 （3）B 上 A 函数 B^A: 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 B^A，符号化表示为 B^A={f | f：A→B}。    [1] 若|A|=m，|B|=n，且 m，n>0，则|B^A|=n^m，>    [2] 若 A=∅, 则 B^A=B^∅={∅}，    [3] 若 A≠∅ 且 B=∅, 则 B^A=∅^A= ∅。

2. 满射和单射 设 f：A→B，    [1] 若 ran f f f=B， 则称 f：A→B 是满射的    [2] 若∀y∈ran f f f 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y，则称 f：A→B 是单射的    [3] 若 f f f：A→B 既是满射又是单射的，则称 f：A→B 是双射的。

3. 复合函数 （1）定理：设 F, G 是函数, 则 FοG 也是函数, 且满足    [1] dom(FοG)={x|x∈domF∧F(x) ∈domG}    [2] ∀x∈dom(FοG)有 FοG(x)=G(F(x)) （2）定理：设 f：A→B, g：B→C    [1] 如果 f：A→B, g：B→C 都是满射的, 则 fοg：A→C 也是满射的    [2] 如果 f：A→B, g：B→C 都是单射的, 则 fοg：A→C 也是单射的    [3] 如果 f：A→B, g：B→C 都是双射的, 则 fοg：A→C 也是双射的