文章目录

• 相关链接
• • 课程链接
  • 参考笔记链接
  • 问题
• 第一讲：方程组的集合解释
• • 1. 从方程组到矩阵
  • 2. A x = b Ax = b Ax=b解法1：row picture 行图像
  • 3. A x = b Ax = b Ax=b解法2：column pircture 列图像
  • • 数形结合：
    • • 数：
      • 形：
  • 4.问题：任意b，都能解决吗？ A x = b Ax=b Ax=b？从列向量线性组合的角度来看，在列三维情况下，向量线性组合能否覆盖整个三维向量空间？
  • 5. 矩阵乘法
  • • 5.1 向量内积
    • 5.2 线性组合列向量
• 二是矩阵消元
• • 1.高斯消元法
  • • 1.1消元步骤
    • 1.2 消元失效
  • 2.从新的角度看矩阵乘法
  • • 旧角度
    • 新角度
    • • 从列向量的角度
      • 从行向量角度
  • 3.从矩阵运算的角度描述高斯消元
  • 4. 置换矩阵
  • 5.矩阵的逆
• 第三，乘法和逆矩阵
• • 1.矩阵乘法
  • • 1.1 一般性法则
    • 1.2 整列相乘
    • 1.3 整行相乘
    • 1.4 列乘以行
    • 1.5 分块乘法
  • 2.逆(方阵)
  • • 2.1证明不可逆
    • 2.2.如果矩阵逆转，求逆法(高斯·若尔丹Gauss-Jordan法）
• 第4讲： A A A的 L U LU LU分解
• • 逆和转位矩阵
  • L U LU LU分解
  • 将一个 n n n 阶方阵 A A A 变换为 U U U 需要的计算量估计：
  • 置换矩阵(Permutation Matrix)：
• 第5讲：转置-置换-向量空间 R R R
• • 置换矩阵（Permutation Matrix）
  • 转置矩阵（Transpose Matrix）
  • 对称矩阵（Symmetric Matrix）
  • 向量空间（Vector Space）
  • • 向量子空间
  • 列空间
• 第6讲：列空间和零空间
• • 列空间
  • 零空间
• 第7讲：求解 A x = 0 Ax=0 Ax=0 主变量 特解
• • 行阶梯矩阵
  • 简化行阶梯矩阵
• 第8讲：求解 A x = b Ax=b Ax=b可解性和解的结构
• • b b b是什么时， A x = b Ax=b Ax=b有解？
  • 求解 A x = b Ax=b Ax=b算法
  • 对秩为 r r r的 m × n m×n m×n矩阵 A A A的解讨论
• 第9讲：线性相关性、基、维数
• • 线性相关性
  • 基
  • 维数
• 第10讲：四个基本子空间
• • 列空间（ C ( A ) C(A) C(A)）
  • 零空间（ N ( A ) N(A) N(A)）
  • 行空间（ C ( A T ) C(A^T) C(AT)）
  • 左零空间（ N ( A T ) N(A^T) N(AT)）
  • 例子
  • 矩阵空间
• 第11讲：矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
• • 矩阵空间
  • • 一些子空间
    • • 对称矩阵S （symmetric）
      • 上三角矩阵U （upper triangular）
      • 矩阵空间的交与和
      • 微分方程例子
  • 秩1矩阵
  • • 秩1矩阵的分解
    • 问题1：所有的秩4的 5 × 17 5×17 5×17矩阵能构成一个子空间吗
    • 问题2：取 R 4 \mathbb{R}^4 R4中满足 v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0 v_1+v_2+v_3+v_4=0 v1​+v2​+v3​+v4​=0的所有向量。能组成一个向量子空间吗？
    • • 证明：
      • 求子空间 S S S
  • 小世界图
• 第12讲：图和网络
• • 图的意义
  • 关联矩阵表示
  • 线性代数相关概念所表达的实际意义
  • • 零空间与电势差
    • 左零空间与基尔霍夫电流定律
    • • 左零空间的基和回路
    • 行空间与回路
    • 左零空间的维数公式与欧拉公式
  • 总结
• 第13讲：复习一