庞加莱的猜测证明，几年前，它引起了世界的广泛关注，并在中外数学界掀起了一场大风暴。8月8日，邱成通的弟子顾保峰教授在知社论坛上写道：庞加莱的猜测有用吗？从医学图像到人工智能， 从虚拟现实到物联网， 不求八卦和恩怨， 只有几何和民生。
首先，我要感谢李江宇教授的邀请，感谢知社学术界、清华校友会和海峡研究为您提供宝贵的机会，探讨纯数学的实际应用。
在丘成桐先生的指导下，这些工作与许多数学家、计算机科学家和医生共同完成。
庞家莱猜测是什么？
假设曲面是由橡胶膜制成的，如果我们能在不撕裂或粘附的情况下逐渐将其中一个曲面变成第二个曲面，那么我们说这两个曲面有相同的托扑。曲面的托扑由曲面的环柄数量（损失）决定，上图显示了损失为0、1、2的不同托扑曲面。
假设有一只具有高度智力的蚂蚁生活在曲面上。蚂蚁没有三维的概念，蚂蚁能否判别出曲面的托扑？
庞加莱发明了同伦理论：检查曲面上的任何封闭曲线是否可以缩成一个点。女孩雕像曲面上的任何圆圈都可以缩成一个点，这样两个圆圈就不能缩成一个点。
庞加莱给出了一种方法：如果曲面上的所有圆都能逐渐成为曲面上的一个点，则曲面损失为零，曲面等同于球面托扑。
庞加莱将这一结论推广到高维，图中显示的是一只实心兔，它是一种三维流形。
庞家莱猜测，单连接的三维封闭流形等于三维球面托扑。
哈密尔顿的里奇曲率流
哈密尔顿发明了里奇曲率流的证明纲领，最终的证明是由Perelman给出。几个团队补充了完整的证明细节。
视频：在这里，我们展示了一个可视化的曲率流视频，兔子曲面和大脑皮层曲面在曲率流下变形，逐渐变成球面。
知社学术圈
当哈密尔顿曲率流在曲面上时，黎曼测量张随时间进化，测量张的变化率与曲率成正比，使曲率的进化遵循非线性热流过程，直到变成常数曲率，即球面。
陈省身大师证明，曲面上有所谓的等温坐标，高斯曲率在等温坐标下具有简单的表达式。
曲面的曲率流是共形的，或保角的：测量张量相差的标量函数。
保角变换下，曲率变化Yamabe控制方程。
平面上的全纯函数是保角变换。保持局部形状。
米开朗基罗大卫王的雕像被保角映在平面上。我们可以看到曲面的保角变化保持局部形状。
微分几何定义的共形变换，以及几何直观。
共形变换保持角度，同时将无限小圆映入无限小圆。
一般微分同胚，将无限小圆映入无限小椭圆。
曲面曲率流引入所谓的单值定理：任何封闭的测量曲面都可以转换为常规曲率曲面、球面、欧洲平面或双曲面。换句话说，曲面可以允许三种几何中的一种：球面、欧洲或双曲面几何。这种定理的三维推广是瑟斯顿猜测，任何三维流形都可以分解为素流形，每个素流形允许八种几何中的一种。
哈密尔顿的曲率流在曲面上形状良好，不会产生奇怪的点；在三流形中，爆破点可能在有限的时间内产生，曲率变得无限大。我们沿着爆破点切割流形，每个连接分支连接运行曲率流。这被称为三流形的手术。我们需要证明，在整个流动过程中，爆破点是有限的。
这里的一些高中生，我们用离散的语言来解释，精神本质是一样的。我们使用多面网格来接近光滑的表面，它们由三角形表面组成。每个三角形表面都可以是欧洲三角形、球形三角形或双曲三角形。
我们在每个边缘附加一个正数，使三角形不等式地建立在任何三角形面片上。这样的赋值是一个离散黎曼测量。如果我们保持组合结构不变，可以有无限的离散黎曼测量。
曲率是衡量曲面局部和平面之间的差异，因此可以用角欠来表示。在离散的情况下，高斯-博内定理仍然成立。
黎曼度量在连续情况下决定高斯曲率，在离散情况下，三角形边长决定内角。角度关系由余弦定理表示。
离散的共形变换比较复杂，我们的想法来源于共形变换的保圆性：无限小圆映入无限小圆。
瑟斯顿提出了以下方法：在给定的平面区域，我们将其三角分割，并将圆盘放置在指定的位置。每边两个圆盘相互切割。然后我们改变圆盘半径，保持三角分割的组合关系，与圆盘之间的相关关系，三角分割覆盖的区域发生变化。分片线性映射建立在初始三角剖分和最终三角剖分的区域之间。若三角剖分逐渐细化，直至无限，则分片线性映射收敛到光滑的共形变换。
在半径对数的情况下，我们建立了离散曲率流的方程。哈密尔顿发明了曲率流，Perelman所谓熵，发现曲率流是一种特定能量的梯度流。离散的熵能量是凸能量，所以我们可以用牛顿法来优化。
采用离散曲面曲率流法计算曲面单值。
带边曲面的单值化非常相似，每个边界在常曲率空间中映成圆。
应用
医学图像领域的应用。
大脑皮层曲面和主要功能区。
我们用曲率流将大脑皮层反射到球面上，从而准确地为大脑表面的每一点建立坐标。
这种共形脑图适用于注册、匹配和比较大脑皮层曲面。
大脑皮层表面有一些明显的沟回，我们沿着这些沟回切开，然后用曲率反射到平面多孔圆盘上。
通过建立大脑皮层之间的映射，我们可以跟踪大脑萎缩的模式，正常的大脑老化，皮层收缩是各向同性的。有些疾病会导致异性萎缩。
一些神经系统疾病会导致沟回变厚，我们定期扫描病人的大脑，跟踪皮层沟回的厚度变化，以帮助诊断。
最佳传输理论：在平面区域给定两个概率密度，并具有自映射的保测度。在所有保测度的映射中，最低传输成本称为最佳传输映射。最佳传输映射的传输成本称为两个概率密度之间Wasserstein距离。
例如，我们考虑了一个国家的土豆亩产量和消耗率，这给出了两个概率密度函数。政府设计了一套土豆运输方案，平衡供销，降低全国运输成本，等同于最佳运输。Kontarovich这一理论赢得了诺贝尔经济奖。
Wasserstein距离的计算取决于解非线性蒙日安培偏微分方程。该方程被丘成桐先生应用于理论和物理领域，并获得菲尔茨奖。蒙日安培方程的解给出了最佳的传输映射Wasserstein距离。
我们设计了实验，扫描了数百人的大脑皮层表面，测试了他们的智商，并用曲率流将大脑皮层映射到单位球面上。从而将大脑皮层的黎曼度量转化为球面上的概率密度。
我们根据智商对这些大脑进行排序，并用像素的灰度表示两个大脑之间的灰度值Wasserstein几何距离，我们可以看到，靠近对角线的区域颜色较暗，远离对角线的区域颜色较亮。这意味着智商距离与几何距离一致。在某种程度上，大脑形状反映了智商。
直肠癌是男性的第四杀手，通常由直肠息肉演变而来。直肠息肉的发现和监测是最有效的防治方法。传统的光学肠镜方法医生和病人有肢体接触，具有一定的侵犯性。患者需要全身麻醉，容易诱发并发症。虚拟肠镜用CT采集患者直肠几何曲面，用曲率流将直肠曲面展开摊平，打开肠曲面上的所有皱纹，暴露所有息肉。同时，从不同姿势获得的直肠曲面可以建立精确的映射，以提高诊断准确性。
计算机视觉：
人脸表情的变化是非共形的。
利用曲率流，将三维人脸曲面反射到二维平面的标准区域，将三维几何问题转化为二维图像处理问题。
通过在平面上注册图像，可以自动准确地找到三维曲面特征点之间的对应性。
我们发明了高速、高分辨率的动态三维扫描仪，每秒可获得180帧的动态三维人脸。通过曲率流，我们可以跟踪帧和帧之间的曲面，从而分析和提取表情。
在二维平面上完成动态曲面跟踪。
利用动态曲面跟踪的结果，我们可以建立特定演员的三维表达数据库，实现虚拟演员的概念。导演可以根据剧本从数据库中独立选择相应的表达方式，而无需现场表演。从而使演员永远年轻，降低拍摄成本。
我们用曲率流的方法将带有不同表情的三维人脸反映在平面圆盘上。脸的面积变化率给出了圆盘上不同的概率密度函数，我们可以用最优传输的Wasserstein距离来衡量。
表情分类：我们选了9个人，每个人三种表情：悲哀，欢乐和惊讶。我们计算任意两张人脸间的Wasserstein距离。
我们将27张脸变成27个点，映射到平面上，使得任意两点间的平面距离等于它们对应的人脸间的Wasserstein距离。我们看到3个团簇，每个簇代表一族人脸曲面带有相近的表情。
几何建模领域：传统样条理论是构建在仿射不变量上的，例如极形式理论等。在流形上建立样条，需要流形具有仿射结构。不幸的是，根据陈省身的纤维丛理论，高亏格曲面上仿射结构的存在性由拓扑障碍，因此样条曲面上不可避免地存在一些奇异点。奇异点处光滑性变差。
流形样条：我们希望将扫描的点云转换成高质量的样条曲面。因为奇异点不可避免，退而次之，我们希望能够完全控制奇异点的位置和指标。这可以由曲率流方法实现：我们将全部曲率集中到奇异点出，其他部分曲率为零。在平直度量上构造样条曲面。
若曲面有边界，则我们能够构造无奇异点的样条曲面；若曲面封闭，我们能够构造只有一个奇异点的样条曲面。
流形样条：局部坐标之间的变换要求是仿射变换。
流形样条的一些计算实例。
三维体样条。
可视化实例：将曲面映入平面，利用最优传输映射方法控制不同部分间的面积比例，例如头部具有不同的放大系数。
物联网应用（无线传感器网络）
假设图中每一个点代表一只手机，手机可以在很小的半径内通信。但是没有一只手机具有全局信息，网络中具有各种障碍物。传统的方法是所谓的贪婪算法：假设每一只手机具有GPS位置信息。目标的GPS坐标已知，当前的手机将信息传给自己的一个邻居，其位置更靠近目标。在邻居障碍物的尖点处，贪婪算法失败。
利用曲率流，我们将整个网络变成圆盘，每个障碍区间变成圆洞，在这种虚拟坐标下，贪婪算法一定成功。
但是在这种情况下，边界处的传感器会负载过重。为了实现负载平衡，我们将网络关于其边界反演，然后在覆盖空间上进行路由，以实现负载平衡。
打破神话：人们一直认为随机路由可以安全地隐藏消息发出者的位置信息。我们发现平面上如果随机行走到达边界点的概率已知，则消息发出点的位置可以计算出来。这种概率在曲率流下不变，因此曲面情形可以用曲率流转化为平面情形算出。
计算拓扑问题：双曲曲率下，每个同伦类具有唯一的测地线。
最短词问题：给定高亏格曲面，给定同伦群基底。任给一条封闭曲线，曲线由基底生成，因而可以表示成由字母组成的词。但是这种表示并不唯一，求其中最短者被称为是最短词问题。这一问题被证明是NP问题。
底空间的一条封闭的圈可以被提升为万有复迭空间的一条路径
不同伦的圈被提升为终点不同的路径
高亏格曲面用曲率流可以算出双曲度量
曲面上的一条圈可以用Birkoff算法变形成一条测地圈
同伦群的基底变成了测地线
如果度量为双曲，所有的基底和圈都是测地线，则最短词问题多项式可解。
总结：曲率流的实际应用
A．大脑形态学，虚拟肠镜
B.表情识别，人脸识别
C.动态曲面追踪，虚拟演员
D.流形样条
E.无线传感器网络路由
F.计算拓扑
总结：
A.庞家莱猜测加深了人类对于自然界的理解
B.证明庞家莱猜测过程中，人类发明了许多新颖的概念，方法和理论工具
C.推动了纯粹数学和物理的发展
D．证明过程中所发明的曲率流方法具有极大的潜质，被广泛地应用于众多的工程和医疗领域
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