数论 · 幂函数求导

TC 讲课笔记。

定义一个功能函数： f ( x ) = a 1 x b 1 a 2 x b 2 ? a n x b n C f(x)=a_1x^{b_1} a_2x^{b_2} \cdots a_nx^{b_n} C f(x)=a1xb1 a2xb2 ? an​xbn​+C。（ C C C 为常数。）

导数：反映一个函数的变化快慢。

• 对于一个一次函数：

  f ( x ) = k x + b f(x)=kx+b f(x)=kx+b，那么它的导数就是 k k k—— k k k 反应了这条直线上的点的变化快慢， k k k 越大， y y y 值的变化越大。

• 对于一个二次函数：

  由一次函数求导可知，对于我们要求导的、在二次函数上的点 A ( x 0 , y 0 ) A(x_0,y_0) A(x0​,y0​)，我们寻找一个点 B ( x , y ) B(x, y) B(x,y)，使 x x x 无限接近 x 0 x_0 x0​，再套用一次函数中的方法，就可以得到点 A A A 的导数： k ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ x → x 0 y − y 0 x − x 0 k(x_0,y_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{y-y_0}{x-x_0} k(x0​,y0​)=x→x0​lim​x−x0​y−y0​​。

• 对于幂函数：

  直接记结论：对于一个幂函数 f ( x ) = a 1 x b 1 + a 2 x b 2 + ⋯ + a n x b n + C f(x)=a_1x^{b_1} + a_2x^{b_2} + \cdots + a_nx^{b_n} +C f(x)=a1​xb1​+a2​xb2​+⋯+an​xbn​+C，其导数为 f ′ ( x ) = a 1 b 1 x b 1 − 1 + a 2 b 2 x b 2 − 1 + ⋯ + a n b n x b n − 1 f'(x) = a_1b_1x^{b_1-1} + a_2b_2x^{b_2-1} + \cdots + a_nb_nx^{b_n-1} f′(x)=a1​b1​xb1​−1+a2​b2​xb2​−1+⋯+an​bn​xbn​−1。

  注意 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 非积性函数。