写这个内容完全是因为我想复习信号和系统的课程，突然跳出来CFT, FT, DTFT, DFS, DFT一堆乱七八糟的东西写得很详细，但很乱。网上的数据粗略草率，但整理得很好。因此，我希望从更好的数学角度总结所有的变化和级数的起源。 因此，这篇文章不是从概念理解开始的，也不会直观地解释它们的角色。我希望更抽象地展示它们，以便更好地理解e的本质。

任何周期函数都可以表达为无限三角函数的和，为了更简洁地表达，采用复合指数的形式，换句话说， { e j n w t } ∣ n = ? ∞ ∞ \{e^{jnwt}\}|_{n=-\infty}^{ \infty} { ejnwt}∣n=?∞ ∞构成完整的正交基，每个基对应的系数可以在函数内积中获得，即 F n = 1 T ∫ ? T / 2 T / 2 f ( t ) e ? j n w t d t F_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnwt}dt Fn=T1​∫−T/2T/2​f(t)e−jnwtdt。傅里叶级数可以表述如下： f ( t ) = Σ − ∞ + ∞ F n e j n w t = Σ − ∞ + ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) e − j n w t d t ⏞ c o e f f i c i e n t s   e j n w t ⏞ b a s e s f(t)=\Sigma_{-\infty}^{+\infty}F_ne^{jnwt}=\Sigma_{-\infty}^{+\infty}\overbrace{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnwt}dt}^{coefficients} \ \overbrace{e^{jnwt}}^{bases} f(t)=Σ−∞+∞​Fn​ejnwt=Σ−∞+∞​T1​∫−T/2T/2​f(t)e−jnwtdt ​coefficients​ ejnwt bases 所以傅里叶级数本质上是用系数和基的方式表达原本的函数。

先考虑傅里叶级数生成的频谱

对于非周期函数，可以认为 T → ∞ T\rightarrow\infty T→∞，那么可以想象其傅里叶级数生成的频谱上，谱线间隔会趋近于0，且谱线幅值也会趋近于0（代入T趋近于无穷到上面的三个式子中就能直接得到这个结论）。

所以解决这个问题的想法就是，不用幅度谱来表示，转而使用幅度密度谱来表示，令df(density function)表示幅度密度函数（因为是在频谱上，所以是对频率的密度），计算一下周期趋近于无穷的时候的df值，有 d f ( w ) = l i m T → ∞ F n ( 2 π / T ) = l i m T → ∞ ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) e − j n w 0 t d t / 2 π = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j w t d t df(w)=lim_{T\rightarrow\infty}\frac{F_n}{(2\pi/T)}=lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnw_0t}dt/2\pi=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt df(w)=limT→∞​(2π/T)Fn​​=limT→∞​∫−T/2T/2​f(t)e−jnw0​tdt/2π=2π1​∫−∞+∞​f(t)e−jwtdt 注意，上式中由于周期趋于无穷，那么信号原本的角频率 w 0 w_0 w0​趋于0，所以定义 w = n w 0 w=nw_0 w=nw0​替换了原式。傅里叶级数中的n能够在频谱上产生间隔，但此时间隔已经变成0了，所以再用 n w 0 nw_0 nw0​表示频率分量已经不合适了，所以才会有这样的定义。 定义信号 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换为 2 π d f ( w ) 2\pi df(w) 2πdf(w)，即 F ( w ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j w t d t F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt F(w)=∫−∞+∞​f(t)e−jwtdt，当然，如果你定义df是对频率f的密度，那么df就直接是傅里叶变换，我将它定义成对角频率的密度，是因为一般幅度谱都喜欢用角频率做横坐标，这样在后面会比较容易想象。 由于已经使用密度函数df表达，那么就无法使用之前的系数乘基的方式表达原信号，需要使用密度积分乘基来表达，即 f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ d f ( w ) d w ⏞ c o e f f i c i e n t   e j w t ⏞ b a s e s = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) e j w t d w f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\overbrace{df(w)dw}^{coefficient}\ \overbrace{e^{jwt}}^{bases}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{jwt}dw f(t)=∫−∞+∞​df(w)dw ​coefficient​ ejwt bases=2π1​∫−∞+∞​F(w)ejwtdw 由于基的长度已经无穷小了，所以相应的要从级数中的 Σ \Sigma Σ换成积分。 由此我们得到了CFT，也就是常说的傅里叶变换 F ( w ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j w t d t f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) e j w t d w F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt \\ f(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{jwt}dw F(w)=∫−∞+∞