定义长度为N的有限长序列 循环卷积(圆周卷积) x 1 ( n ) ? x 2 ( n ) = ∑ i = 0 N ? 1 x 1 ( i ) x 2 ( ( n ? i ) ) N x_1(n)\otimes x_2(n)=\sum_{i=0}^{N-1}{x_1(i)x_2((n-i)})_N x1(n)?x2(n)=i=0∑N?1x1(i)x2​((n−i))N​ 循环卷积所得序列的长度还是N，长度不变。 其中 表示对 进行圆周右移m运算，如长度为6的序列 ，其图形及圆周移位的图形如下图所示：

（a） （b） （c） 长度为N的序列 通过长度为L（ L<N）的系统 ，其响应可用圆周卷积定义为 y ( n ) = x 1 ( n ) ⊗ h 1 ( n ) = ∑ i = 0 N − 1 x 1 ( i ) h 1 ( ( n − i ) ) N y(n)=x_1(n)\otimes h_1(n)=\sum_{i=0}^{N-1}{x_1(i)h_1((n-i)})_N y(n)=x1​(n)⊗h1​(n)=i=0∑N−1​x1​(i)h1​((n−i))N​ 其中 是将 的长度扩展到N（补零）得到。 如长度为4的有限长序列x(n)={1，1，1，1},通过系统h(n)={n=0,1,2}，则有 h 1 ( n ) = 1 ， 2 ， 0 ， 0 h_1(n)={1， 2，0，0} h1​(n)=1，2，0，0响应为 y ( 0 ) = x ( 0 ) h 1 ( ( 0 ) ) 4 + x 1 ( 1 ) h 1 ( ( − 1 ) ) 4 + x 1 ( 2 ) h 1 ( ( − 2 ) ) 4 + x ( 3 ) h 1 ( ( − 3 ) ) 3 y(0)=x(0)h_1((0))_4+x_1(1)h_1((-1))_4+x_1(2)h_1((-2))_4+x(3)h_1((-3))_3 y(0)=x(0)h1​((0))4​+x1​(1)h1​((−1))4​+x1​(2)h1​((−2))4​+x(3)h1​((−3))3​ = x 1 ( 0 ) h 1 ( 0 ) + x 1 ( 1 ) h 1 ( 3 ) + x 1 ( 2 ) h 1 ( 2 ) + x ( 3 ) h 1 ( 1 ) =x_1(0)h_1(0)+x_1(1)h_1(3)+x_1(2)h_1(2)+x(3)h_1(1) =x1​(0)h1​(0)+x1​(1)h1​(3)+x1​(2)h1​(2)+x(3)h1​(1) y ( 1 ) = x ( 0 ) h 1 ( ( 1 ) ) 4 + x 1 ( 1 ) h 1 ( ( 0 ) ) 4 + x 1 ( 2 ) h 1 ( ( − 1 ) ) 4 + x ( 3 ) h 1 ( ( − 2 ) ) 3 y(1)=x(0)h_1((1))_4+x_1(1)h_1((0))_4+x_1(2)h_1((-1))_4+x(3)h_1((-2))_3 y(1)=x(0)h1​((1))4​+x1​(1)h1​((0))4​+x1​(2)h1​((−1))4​+x(3)h1​((−2))3​ = x 1 ( 0 ) h 1 ( 1 ) + x 1 ( 1 ) h 1 ( 0 ) + x 1 ( 2 ) h 1 ( 3 ) + x ( 3 ) h 1 ( 2 ) . . . . . =x_1(0)h_1(1)+x_1(1)h_1(0)+x_1(2)h_1(3)+x(3)h_1(2)\bigm...... =x1​(0)h1​(1)+x1​(1)h1​(0)+x1​(2)h1​(3)+x(3)h1​(2)..... 参考我们上课讲到的卷积实现的算法完成下列问题 问题：序列 x ( n ) = c o s ( 0.2 π n ) x(n)=cos{(}0.2\pi n) x(n)=cos(0.2πn)，通过系统 h 1 ( n ) = 1 ， 2 ， 0 ， 0 h_1(n)={1， 2，0，0} h1​(n)=1，2，0，0 ； （1）用matlab完成下列圆周卷积的结果（ 的长度取100）,并与matlab的cconv(x1,x2,N)函数结果进行比较。 （2）比较圆周卷积和线性卷积（conv普通卷积）所得到的结果，分析圆周卷积的优点。（20分） 解：（1） 代码： 定义圆周卷积函数circonvt

function y=circonvt(x1,x2,N) 
x_1=[x1 zeros(1,N-length(x1))]; 
h_1=[x2 zeros(1,N-length(x2))]; 
y1=conv(x_1,h_1);
z_1=[zeros(1,N) y1(1:(N-1))]; 
z_2=[y1((N+1):(2*N-1)) zeros(1,N)];
z=z_1(1:(2*N-1))+z_2(1:(2*N-1))+y1(1:(2*N-1)); 
y=z(10:N+10);
end

无限长序列 ，（1）画出其幅度谱；（2）将序列截取长度N=128的有限长序列，画出其DTFT频谱和DFT频谱。（3）例举计算机借助傅里叶变换分析信号频谱的步骤和方法，并指出会带来那些失真？（20分） 解：（1） 代码： dfs函数