■ 电磁铁驱动
在电磁铁饱和之前，电磁铁产生的磁场与流过的电流之间通常呈现线性关系。如果忽略磁滞、磁饱和等非线性特性，可以通过控制流过电磁铁的电流来控制其电磁吸引力。
电磁铁一般可以等效成电感 L L L和电阻 R R R串联。流经的稳态电流 I 0 I_0 I0在电磁铁两端施加的平均电压 U ˉ \bar U Uˉ关系如下： I 0 = U ˉ R I_0 = { {\bar U} \over R} I0=RUˉ。在通常情况下，可以使用PWM来驱动电磁铁，达到很高的工作效率。
如果双极性PWM电压波形的峰值为 E 0 E_0 E0，PWM的占空比为 θ 0 \theta _0 θ0，则PWM的等效平均电压为： U 0 = E 0 ( 2 θ 0 − 1 ) U_0 = E_0 \left( {2\theta _0 - 1} \right) U0=E0(2θ0−1)
其中 θ 0 \theta _0 θ0的取值范围是： ( − 1 , 1 ) \left( { - 1,1} \right) (−1,1)。
使用单管驱动电磁铁的电路比较简单，但这与使用桥电路产生双极性的PWM之间有很大的区别。电磁铁的电流在晶体管导通时，由电源电压VCC驱动下增加，在晶体管截止时通过续流二极管以及电阻Rf和R0(电磁铁的内阻)电流下降。此时流经电磁铁的电流 I r e l a y I_{relay} Irelay与驱动的PWM的占空比 θ 0 \theta _0 θ0之间就不再是一个线性关系了。
▲ 使用晶体管驱动电磁铁示意图
本文通过理论分析和实验来研究，在单管驱动电磁铁的情况下：
通过这些分析，为后面使用电磁铁做控制建立下很好的数学关系和电路设计参数。
01实验研究
先通过实验研究，获得在一般情况下单管晶体管驱动电磁铁的占空比与流经电流之间的关系，然后在后面进行理论分析。
在实验中，使用 器件来测量电磁铁的铁芯磁场来间接反映电流的大小。
1.实验中的元器件
使用在 中拆卸下的中功率NPN晶体管 作为实验中的三极管。
▲ D882中功率NPN三极管的主要参数
使用 作为电路中的续流二极管。
▲ 快速恢复二极管 20ETF06S
使用万用表测量20ETF06S的二极管前向导通电压为：0.351V。
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▲ 电路中的两个半导体器件 | D882 , 20ETF06S
使用 测量电磁铁的磁芯磁场。
使用 中的单片机实验模块所产生的PWM以及16-bitAD 转换器来测量HALL的输出。
使用所使用的电磁铁包括以下几种。
- 在 中的电磁铁和HALL框架；
- 在 中的继电器的磁铁；
- 使用一款在TB购买的 作为测量对象。
▲ 购买到的电磁铁
- 电阻R=16Ω；电感（1kHz）L=13.37mH。
2.实验电路
使用 作为R1，用于动态调整R1。在面包板上将实验电路搭建起来。
▲ 实验电路
选择VCC为12V电压。测量单片机发送的PWM波形以及T1集电极电压波形如下，大体验证实验电路工作正常。
▲ 单片机发送的PWM波形以及T1集电极电压波形
3.测试数据
- 设置R1= 0欧姆：
▲ HALL输出与PWM设置之间的关系 - R1=10欧姆
▲ HALL输出与PWM设置之间的关系
- 设置R= 100欧姆
▲ HALL输出与PWM设置之间的关系
▲ 不同的R1对应的PWM与HALL取值之间的曲线
在 中描述了磁悬浮地球仪的电磁铁以及HALL的构造。下面是测量单管驱动下占空比与HALL之间的关系。
▲ 单管驱动占空比与HALL输出之间的关系
▲ 单管驱动占空比与HALL输出之间的关系；RF=100Ω
02理论分析
1.分析假设
由于电路存在着很多非线性环节，它的分析根据电路不同的工作状态，所得到的结果也各有变化。下面先就一种比较简单的情况进行分析：
- 电感中的电流始终保持连续；
- 对于续流二极管D1，晶体管T1的导通电压假设都是0；
- 电感等效为电感与电阻的的串联： L 1 , R L L_1 ,R_L L1,RL；
- PWM的周期为， T 1 T_1 T1，占空比为 η \eta η。那么晶体管打开的时间 t o n t_{on} ton和关断时间 t o f f t_{off} toff分别是： t o n = T 1 ⋅ η , t o f f = T 1 ( 1 − η ) t_{on} = T_1 \cdot \eta ,\,\,\,\,t_{off} = T_1 \left( {1 - \eta } \right) ton=T1⋅η,toff=T1(1−η)
那么电感的电流变化可以分解成两个不同的阶段：
- 晶体管导通阶段；
- 晶体管截止阶段；
2.电流变化以及平均值
根据前面的假设，电流的变化曲线如下图所示。
▲ 电感中的电流变化曲线
利用假设的简化条件，可以得到电流上升和下降的渐进稳定的电流分别是： I H ∞ = V C C R L , I L ∞ = 0 I_{H\infty } = { {V_{CC} } \over {R_L }},\,\,I_{L\infty } = 0 IH∞=RLVCC,IL∞=0。可以列写出在电流上升阶段和下降阶段的对应的指数函数方程。在晶体管导通器件，电感电流指数上升：
其中： I H ∞ = V C C R L , τ o n = L 1 R L I_{H\infty } = { {V_{CC} } \over {R_L }},\,\,\,\tau _{on} = { {L_1 } \over {R_L }} IH∞=RLVCC,τon=RLL1 那么
同理可得：
可知：
令：
分析晶体管截止的过程，可以得到：
其中时间常数： τ o f f = L 1 / ( R 1 + R L ) \tau _{off} = L_1 /\left( {R_1 + R_L } \right) τoff=L1/(R1+RL)。
联合2-2-2， 2-2-3可以求解出 I H , I L I_H ,I_L IH,IL：
在得到 I H , I L , t o n , t o f f I_H ,I_L ,t_{on} ,t_{off} IH,IL,ton,toff的情况下，计算此时对应的电流平均值。 根据电流在上升和下降两个阶段的方程，来计算曲线的面积。
上升阶段的电流积分面积：
电流下降阶段的积分面积：
平均电流：
如果反馈续流电阻R1= 0，那么施加在的电感上的电压平均值就与占空比成正比，流经的电流与占空比之间就是线性关系。
3.数值仿真结果
根据前面实验中的条件，确定比较符合实际实验的一些参数：
- 工作电源：Vcc=12V
- 电感等效串联直流电阻：RL=16Ω
- 电感电感量：L1=13.37mH
- PWM周期：T1=1/fpwm=29.26us
- 续流串联电阻：R1从0变化到100欧姆
▲ 对于不同的R1得到的占空比与电流之间的关系
从上图可以看到当续流二极管上串联的电阻R1=0时，流经电感电流 I L I_L IL与占空比 η \eta η之间就是一个线性关系： I L ( η ) = V C C R L ⋅ η I_L \left( \eta \right) = { {V_{CC} } \over {R_L }} \cdot \eta IL(η)=RLVCC⋅η
随着R1的增加，电流与占空比之间的非线性就逐步增大了。
#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
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# SIMUL.PY -- by Dr. ZhuoQing 2020-07-24
#
# Note:
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from headm import *
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Vcc=12
L1=13.37e-3
RL=16.0
fpwm=34.18e3
T1=1/fpwm
R1 = 0
duty = 0.5
#------------------------------------------------------------
def CAduty(duty):
ton = duty*T1
toff = T1 - ton
Ihoo =Vcc/RL
taoon=L1/RL
taooff = L1/(RL+R1)
a = exp(ton/taoon)
b = exp(toff/taooff)
IL = (a-1)/(a*b-1)*Ihoo
IH = b*(a-1)/(a*b-1)*Ihoo
tH = taoon * log(Ihoo/(Ihoo - IH))
tL = taoon * log(Ihoo/(Ihoo-IL))
Aon = Ihoo*(ton - taoon*(exp(-tL/taoon) - exp(-tH/taoon)))
Aoff = IH*taooff*(1-exp(-toff/taooff))
return (Aon+Aoff)/T1
#------------------------------------