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三维的刚体运动

1.点与坐标系

2D情况:用两个坐标+旋转角表达

3D情况:

1.点和向量

点是空间中的基本元素,没有长度,没有体积,连接两点,构成向量。向量可以看作是从某一点到另一点的箭头。

向量和坐标的概念不能混淆。一个向量是空间中的东西,比如。这里的它不需要与几个实数相关。只有当我们在这个三维空间中指定一个坐标系时,我们才能讨论该坐标系下的向量坐标,即找到几个实数对应该向量。

可以使用三维空间中某个点的坐标点** R 3 \mathbb{R}^3 R3aa**在此基下的坐标。坐标的具体取值,一是和向量本身有关,而是和坐标系(基)的选取有关。

对于** a , b ∈ R 3 a,b \in \mathbb{R}^3 a,b∈R3**,通常内积和外积为:

  • 内积:

a ⋅ b = a T b = ∑ i = 1 3 = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s ⟨ a , b ⟩ a·b=a^Tb=\sum_{i=1}^{3}=|a||b|cos\langle a , b \rangle a⋅b=aTb=i=1∑3​=∣a∣∣b∣cos⟨a,b⟩

  • 外积:

a × b = [ e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ] = [ a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ] = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] b = a Λ b a×b=\left[ \begin{matrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{matrix} \right]b=a^{\Lambda} b a×b=⎣ ⎡​e1​a1​b1​​e2​a2​b2​​e3​a3​b3​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​a2​b3​−a3​b2​a3​b1​−a1​b3​a1​b2​−a2​b1​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​0a3​−a2​​−a3​0a1​​a2​−a1​0​⎦ ⎤​b=aΛb

外积的结果是一个向量,他的方向垂直与这两个向量,大小为 ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n ⟨ a , b ⟩ |a||b|sin\langle a , b \rangle ∣a∣∣b∣sin⟨a,b⟩,是两个向量张成的四边形的有向面积。对于外积运算,我们引入 Λ \Lambda Λ,把写成一个矩阵。这是一个反对称矩阵,这样就把外积写成矩阵与向量的乘法。把他变成线性运算。

2.坐标系的欧系变换

在slam中

两个坐标系之间的运动由一个旋转加上一个平移组成,这种运动称为刚体运动。相机就是一个刚体运动。

欧式变换由旋转和平移组成。我们首先考虑旋转。设某个单位正交基 ( e 1 , e 2 , e 3 ) (e_1,e_2,e_3) (e1​,e2​,e3​)经过一次旋转变成了 ( e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ ) (e_1',e_2',e_3') (e1′​,e2′​,e3′​)。那么对于同一个向量(向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动),他在两个坐标系下的坐标为 [ a 1 , a 2 , a 3 ] T [a_1,a_2,a_3]^T [a1​,a2​,a3​]T和 [ a 1 ′ , a 2 ′ , a 3 ′ ] T [a_1',a_2',a_3']^T [a1′​, 标签: e0e1e2传感器n传感器e3x

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