1 前言：
韦伯分布常用于失效（time to Failure）或者，相反，它是衡量可靠性的工具。他的目标是建立一个失效分析模型或一个失效分析模型Pattern. 故障可用于许多领域，包括存储部件、机械抗疲劳、航空和汽车结构。 本章介绍了韦布尔的分布(weibull distribution)累计分布函数CDF\密度分布函数PDF\数学期望EDF基本公式、参数、基本图形和推导。 在介绍公式概念时，将概率论中的大部分通用概念拿出来在概念节中进行阐述。 韦伯分布的另一个重要特点是他的灵活性很好。
韦伯分布的应用场景包括工业制造、研究生产过程和运输时间关系、极值理论、天气预测、可靠性和故障分析、雷达系统对接收到的杂波信号的依赖分布建模。相对指数衰减频道模型在拟合度无线通信技术中，Weibull衰减模型对衰减频道建模具有良好的拟合度。由于曲线形状与实际情况相匹配，量化寿险模型的重复索赔、预测技术变化和风速被用来描述风速的分布。】
2 韦伯分布的累计分布函数（CDF-Cumulative Distribution Function）：
【案，本章CDF就是指的 CDF of weibull 】 【CDF其实就是PDF见附件参考定义
2.1 韦伯分布累积分布函数和双参数推导
【Franklin案，在展示CDF在公式之前，我们不得不提到我们国内知识中使用的希腊字母与国外完全不同。然而，许多希腊字母在使用中具有特定的意义。本文采用了一般的表达公式 F ( x ) = { 1 ? e ? ( x λ ) k x ≥ 0 0 x < 0 【 某 度 表 达 式 】 F ( x ) = { 1 ? e ? ( x η ) β x ≥ 0 0 x < 0 【 通 用 表 达 式 】 F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-(\frac{x}{\lambda })^{k}} & x\geq 0 & \\ 0& x< 0 & \end{matrix}\right.【某度表达式】 F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-(\frac{x}{\eta })^{\beta }} & x\geq 0 & \\ 0& x< 0 & \end{matrix}\right.通用表达 F(x)={ 1?e?(λx)k0x≥0x<0【某度表达式】F(x)={ 1−e−(ηx)β0x≥0x<0【通用表达式】 【某度】
- x 为随机变量 (continuous random variable)
- k 为形状参数 (shape parameter）
- λ 缩放因子 (scale parameter）
【通用】
- x 为随机变量 (continuous random variable)[案，大多用t表述]
- β 为形状参数 (shape parameter）
- η 缩放因子 (scale parameter）
【如果我们把作为代表的随机变量，累计分布函数就表征了一个系统的寿命周期（因为依赖于时间）中随机时间的概率的累计情况】 F ( t ) = 1 − e − ( t η ) β ( t > 0 ) \large\displaystyle F(t) = 1 - e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }} (t>0) F(t)=1−e−(ηt)β(t>0) 显然，由于我们定义了F(t)作为系统的实效率函数(failure rate function)，那么对应的，系统可靠性（）的函数为： 【失效和可靠完全是两个完全随机变量，所有，其实可以反着定义,所以，也有互相叫reverse Weibull Distribution的说法】 R ( t ) = 1 − F ( t ) \large\displaystyle R(t) = 1 - F(t) R(t)=1−F(t) 也就是，
R ( t ) = e − ( t η ) β ( t > 0 ) \large\displaystyle R(t) = e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }} (t>0) R(t)=e−(ηt)β(t>0) 
上 图 ， 显 示 了 F ( t ) R ( t ) 在 构 建 失 效 图 的 意 义 ， 红 色 为 系 统 故 障 的 概 率 ， 绿 色 为 系 统 稳 定 的 概 率 上图，显示了F(t) R(t)在构建失效图的意义，红色为系统故障的概率，绿色为系统稳定的概率 上图，显示了F(t)R(t)在构建失效图的意义，红色为系统故障的概率，绿色为系统稳定的概率 【显然，这也是累计分布函数的意义展示。上图纵坐标为发生问题的概率，而横坐标为时间（t）】
The Cumulative Distribution Function (CDF), of a real-valued random variable X, evaluated at x, is the probability function that X will take a value less than or equal to x.
【累计分布函数就是计算随机变量小于等于某个值的所有可能的概率】
2.2 三参数韦伯分布累计分布函数
F ( x ) = { 1 − e − ( x − γ η ) β x ≥ 0 0 x < 0 【 通 用 表 达 式 】 \large\displaystyle F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-(\frac{x-\gamma}{\eta })^{\beta }} & x\geq 0 & \\ 0& x< 0 & \end{matrix}\right.【通用表达式】 F(x)={ 1−e−(ηx−γ)β0x≥0x<0【通用表达式】
- x 为随机变量 (continuous random variable)[案，大多用t表述]
- β 为形状阐述 (shape parameter）
- η 缩放因子 (scale parameter） 【案，多了一个位置参数】 【案，CDF在某些分析里面，似乎也被称为 Weibull probability plot】
3 韦伯分布的概率密度函数（PDF-Probability density function）：
【案，本章PDF就是指的 PDF of weibull 】
3.1 PDF的推导
其实就是 的微分，从名字也可以知道，一个是累计函数，一个是密度函数。 可以通过数学推导求出的表达式：
d F ( t ) d x = f ( t ) \frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} x}=f(t) dxdF(t)=f(t) 依据简单的微积分公式， d ( 1 ) d x = 0 , d ( e x ) d x = e x , d ( e a x ) d x = a e a x , d ( a x k ) d x = a x k − 1 e a x k \frac{\mathrm{d}(1)}{\mathrm{d} x}=0,\frac{\mathrm{d}(e^{x})}{\mathrm{d} x}=e^{x},\frac{\mathrm{d}(e^{ax})}{\mathrm{d} x}=ae^{ax},\frac{\mathrm{d}(ax^{k})}{\mathrm{d} x}=ax^{k-1}e^{ax^{k}} dxd(1)=0,dxd(ex)=ex,dxd(eax)=aeax,dxd(axk)=axk−1eaxk 可得， F ( t ) = 1 − e − ( t η ) β ， f ( t ) = d F ( t ) d x = 0 − d e − ( t η ) β d x F(t) = 1 - e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }}， f(t)=\frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} x}=0- \frac{\mathrm{d} e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }}}{\mathrm{d} x} F(t)=1−e−(ηt)β，f(t)=dxdF(t)=0−dxde−(ηt)β 令， a = − ( 1 η ) β , d ( e a x ) d x = a e a x a=-(\frac{1}{\eta })^{\beta },\frac{\mathrm{d}(e^{ax})}{\mathrm{d} x}=ae^{ax} a=−(η1)β,dxd(eax)=aeax f ( t ) = − ( 1 η ) β . t β − 1 . β . e − ( t η ) β = β η β t β − 1 e − ( t η ) β \large\displaystyle f(t)=-(\frac{1}{\eta })^{\beta }.t^{\beta-1}.\beta.e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }}= \frac{\beta }{\eta ^{\beta }}t^{\beta -1}e^{-(\frac{t}{\eta })^\beta } f(t)=−(η1)β.tβ−1.β.e−(ηt) 标签： tdt1对射型光电开关传感器tdt2对射电眼传感器