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  封面动图来自于： SHUTTERSTOCK网站

 

§00 作业题目

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  作业要求链接： 信号与系统 2022 春季学期第五次作业 https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/123712642

 

§01 参考答案

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1.1 傅里叶级数分解

1.1.1 计算傅里叶级数并画出频谱

（1）第一小题

  本题的主要目的是联系傅里叶级数分解的基本公式的使用。

  求解：

  （1） 三角形式的傅里叶级数

周期方波是偶对称波形，而且满足奇谐对称，所以 b n = 0 ,    a 2 k = 0 b_n = 0,\,\,a_{2k} = 0 bn​=0,a2k​=0 。 a n = 4 T ∫ 0 T 2 f ( t ) cos ⁡ 2 π n t T d t = 4 T { ∫ 0 T 4 cos ⁡ 2 π n t T d t − ∫ T 4 T 2 cos ⁡ 2 π n t T d t } a_n = {4 \over T}\int_0^{ {T \over 2}} {f\left( t \right)\cos { {2\pi nt} \over T}dt = {4 \over T}\left\{ {\int_0^{ {T \over 4}} {\cos { {2\pi nt} \over T}dt} - \int_{ {T \over 4}}^{ {T \over 2}} {\cos { {2\pi nt} \over T}dt} } \right\}} an​=T4​∫02T​​f(t)cosT2πnt​dt=T4​{ ∫04T​​cosT2πnt​dt−∫4T​2T​​cosT2πnt​dt} = 4 T ⋅ T 2 π n ⋅ { sin ⁡ 2 π n t T ∣ 0 T 4 − sin ⁡ 2 π n t T ∣ T 4 T 2 } = 2 π n ⋅ [ sin ⁡ π n 2 − ( sin ⁡ π n − sin ⁡ π n 2 ) ] = 4 π n sin ⁡ n π 2 = {4 \over T} \cdot {T \over {2\pi n}} \cdot \left\{ {\left. {\sin { {2\pi nt} \over T}} \right|_0^{ {T \over 4}} - \left. {\sin { {2\pi nt} \over T}} \right|_{ {T \over 4}}^{ {T \over 2}} } \right\} = {2 \over {\pi n}} \cdot \left[ {\sin { {\pi n} \over 2} - \left( {\sin \pi n - \sin { {\pi n} \over 2}} \right)} \right] = {4 \over {\pi n}}\sin { {n\pi } \over 2} =T4​⋅2πnT​⋅{ sinT2πnt​∣∣∣∣​04T​​−sinT2πnt​∣∣∣∣​4T​2T​​}=πn2​⋅[sin2πn​−(sinπn−sin2πn​)]=πn4​sin2nπ​

  结果也验证了，只有当 n = 2 k + 1 n = 2k + 1 n=2k+1 ， a n ≠ 0 a_n \ne 0 an​​=0 。

  对照 周期信号傅里叶级数表格 也能够验证上述推导公式是正确的。

  （2） 复指数形式傅里叶级数

  根据 F n = 1 2 ( a n − j b n ) F_n = {1 \over 2}\left( {a_n - jb_n } \right) Fn​=21​(an​−jbn​) 可以知道 F n = 1 n π sin ⁡ ( n π 2 ) F_n = {1 \over {n\pi }}\sin \left( { { {n\pi } \over 2}} \right) F 标签： tdt1对射型光电开关传感器tdt2对射电眼传感器