随机变量X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)，非负函数存在 f ( x ) f(x) f(x)，使任意实数 x x x，有

F ( x ) = ∫ ? ∞ x f ( t ) d t F(x)={\displaystyle \int^x_{-\infty} f(t)dt} F(x)=∫?∞xf(t)dt

则称 X X X为连续随机变量，其中函数 f ( x ) f(x) f(x)称为 X X X的概率密度函数简称概率密度

F ( x ) = ∫ ? ∞ x f ( t ) d t F(x)={\displaystyle \int^x_{-\infty} f(t)dt} F(x)=∫−∞x​f(t)dt

概率密度 f ( x ) f(x) f(x)具有以下性质：

1. 非负性： f ( x ) ⩾ 0 f(x){\geqslant}0 f(x)⩾0
2. 归一性： ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 {\large \int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx}=1 ∫−∞+∞​f(x)dx=1

这两条性质是判定一个函数fx)是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件。

3. P { x 1 < X ⩽ x 2 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) = ∫ − ∞ x 2 f ( x ) d x − ∫ − ∞ x 1 f ( x ) d x = ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x   ( x 1 ⩽ x 2 ) P\{x_1<X{\leqslant}x_2\}=F(x_2)-F(x_1)={\large \int^{x_2}_{-\infty}f(x)dx}-{\large \int^{x_1}_{-\infty}f(x)dx}={\large \int^{x_2}_{x_1}f(x)dx}{\ }(x_1{\leqslant}x_2) P{ x1​<X⩽x2​}=F(x2​)−F(x1​)=∫−∞x2​​f(x)dx−∫−∞x1​​f(x)dx=∫x1​x2​​f(x)dx (x1​⩽x2​)

几何意义： X X X落在区间 ( x 1 , x 2 ] (x_1,x_2] (x1​,x2​]的概率等于区间 ( x 1 , x 2 ] (x_1,x_2] (x1​,x2​]上曲线 f ( x ) f(x) f(x)之下的曲边梯形的面积。

4. 在 f ( x ) f(x) f(x)的连续点,有 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x)

注： X X X是连续型随机变量,对任意点a，都有 P { X = a } = 0 P\{X=a\}=0 P{ X=a}=0

🆗接下来就是例题环节

X X X是连续型随机变量，其概率密度

f ( x ) = { k e − 3 x x > 0 0 x ⩽ 0 {\large f(x)=\begin{cases}ke^{-3x} & x>0\\ 0 & x\leqslant0 \end{cases}} f(x)=⎩⎨⎧​ke−3x0​x>0x⩽0​

1. 确定常数k
2. 求 X X X的分布函数,并求 P { X > 0.1 } P\{X>0.1\} P{ X>0.1}

解 1 ： 1 = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x = 0 + ∫ 0 + ∞ k e − 3 x d x = k ( − 1 3 ) e − 3 x ∣ 0 + ∞ = k 3 解 得 k = 3 解1：\\ {\large 1=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx=\int^{0}_{-\infty}f(x)dx+\int^{+\infty}_{0}f(x)dx}\\ ={\large 0+\int^{+\infty}_{0}ke^{-3x}dx=k(-\frac{1}{3})e^{-3x}|^{+\infty}_0=\frac{k}{3}}\\ 解得k=3 解1：1=∫−∞+∞​f(x)dx=∫−∞0​f(x)dx+∫0+∞​f(x)dx=0+∫0+∞​ke−3xdx=k(−31​)e−3x∣0+∞​=3k​解得k=3

解 2 ： 当 x ⩽ 0 时 , F ( x ) = ∫ − ∞ x 0 d x = 0 当 x > 0 时 , F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = ∫ − ∞ 0 f ( t ) d t + ∫ 0 x 3 e − 3 t d t = 0 + 3 × ( − 1 3 ) e − 3 t ∣ 0 x = 1 − e − 3 x 解2：\\ 当x{\leqslant}0时,F(x)=\int^x_{-\infty}0dx=0\\ 当x>0时,F(x)=\int^x_{-\infty}f(t)dt=\int^0_{-\infty}f(t)dt+\int^x_03e^{-3t}dt\\ =0+3\times(-\frac{1}{3})e^{-3t}|^x_0=1-e^{-3x} 解2：当x⩽0时,F(x)=∫−∞x​0dx=0当x>0时,F(x)=∫−∞x​f(t)dt=∫−∞0​f(t)dt+∫0x​3e−3tdt=0+3×(−31​)e−3t∣0x​=1−e−3x

都积到这里，下面就不用写了吧，就是带值计算的事了（😘容许我偷个小懒吧）