一.三对角
1.1问题引入
问题引入： A = { 6 1 3 8 6 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 1 8 6 } ， A= \begin{Bmatrix}6& 1 & 3 &\\ 8 & 6 & 1& \\ & ... & ...&...\\ &&...&...&...\\ &&&...&...&...\\ &&&&8&6&1\\&&&&&8&6\end{Bmatrix} ，A=???????????????????6816...31.....................8...6816⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫， b = { 7 15 . . . 15 14 } b=\begin{Bmatrix} 7\\15\\ ...\\ 15\\14\end{Bmatrix} b=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧715...1514⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎫ ， 则 方 程 有 解 ，则方程有解 ，则方程有解 X X X使 A X = b AX=b AX=b，取n=10求 X X X
1.2三对角算法原理
首先将矩阵进行LU分解，设方程组 A X = F AX=F AX=F，即 [ b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 . . . . . . . . . a i b i c i . . . . . . . . . a n − 1 b n − 1 c n − 1 a n b n ] [ x 1 x 2 . . . . . . . . . . . . x n ] = [ f 1 f 2 . . . . . . . . . . . . f n ] \begin{bmatrix}b_1& c_1 & \\&a_2 & b_2 & c_2& \\&&...& ... &...\\&&& a_i &b_i&c_i\\&&&&...& ... &...\\&&&&&a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1}& \\&&&&&&a_n &b_n\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\...\\...\\...\\...\\x_n\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_1\\f_2\\...\\...\\...\\...\\f_n\\\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡b1c1a2b2...c2...ai...bi...ci...an−1...bn−1ancn−1bn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1x2............xn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡f1f2............fn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ 则有则有 A = L U A=LU A=LU，即 L = [ 1 l 2 1 l 3 1 . . . . . . . . . 1 l n 1 ] L=\begin{bmatrix}1& \\l_2 & 1 \\&l_3& 1\\&&&...& ... \\&&&&...& 1 & \\&&&&&l_n &1\\\end{bmatrix} L=⎣⎢⎢⎢⎢