本文是《线性系统理论》大作业的一部分，分析和控制一、二阶倒立摆。 线性系统大操作-0.一、二阶倒立建模与控制系统设计 的一部分。

最后，在本文中使用 MATLAB 代码和 Simulink 模拟模型已上传到 GitHub 上。 Code: https://github.com/Cc19245/Inverted-pendulum.git

假设如图所示 u u u对外力， M M M为小车质量， m m m摆杆长度为摆杆质量 2 l 2l 2l摆杆分布均匀。 x x x为了车的位置， θ \theta θ摆杆与垂直方向的夹角。系统不考虑空气阻力的影响。

假设杆的质量分布均匀，且不考虑系统摩擦，本文给出了这些参数如表所示。

先对小车进行受力分析，水平方向有 M x ¨ + H = u \begin{aligned} M\ddot{x}+H = u \end{aligned} Mx¨+H=u​

再对摆进行受力分析，水平方向有 H = m d 2 d t 2 ( x + l sin ⁡ θ ) \begin{aligned} H = m\dfrac{d^2}{dt^2}(x+l\sin\theta) \end{aligned} H=mdt2d2​(x+lsinθ)​

即 H = m x ¨ + m l ( θ ¨ cos ⁡ θ − θ ˙ 2 sin ⁡ θ ) \begin{aligned} H = m\ddot{x}+ml(\ddot{\theta}\cos{\theta}-\dot{\theta}^2\sin{\theta}) \end{aligned} H=mx¨+ml(θ¨cosθ−θ˙2sinθ)​

摆的竖直方向有 V − m g = m d 2 d t 2 ( l cos ⁡ θ ) \begin{aligned} V -mg = m\dfrac{d^2}{dt^2}(l\cos{\theta}) \end{aligned} V−mg=mdt2d2​(lcosθ)​

即 V = m g − m l ( θ ¨ sin ⁡ θ + θ ˙ 2 cos ⁡ θ ) \begin{aligned} V = mg -ml(\ddot{\theta}\sin{\theta} + \dot{\theta}^2\cos\theta) \end{aligned} V=mg−ml(θ¨sinθ+θ˙2cosθ)​

对摆应用动量矩定理，以 θ \theta θ顺时针方向旋转为正，设摆绕着质心的转动惯量为 I I I，则有 V l sin ⁡ θ − H l cos ⁡ θ = I θ ¨ \begin{aligned} Vl\sin\theta - Hl\cos\theta = I \ddot{\theta} \end{aligned} Vlsinθ−Hlcosθ=Iθ¨​

整理可得 ( M + m ) x ¨ + m l θ ¨ cos ⁡ θ − m l θ ˙ 2 sin ⁡ θ = u m l x ¨ cos ⁡ θ + ( I + m l 2 ) θ ¨ − m g l sin ⁡ θ = 0 \begin{aligned} \begin{array}{l} (M+m) \ddot{x}+m l \ddot{\theta}\cos \theta -m l\dot{\theta}^{2} \sin \theta =u \\ m l\ddot{x} \cos \theta +(I+m l^{2}) \ddot{\theta}-m g l \sin \theta=0 \\ \end{array}\end{aligned} (M+m)x¨+mlθ¨cosθ−mlθ˙2sinθ=umlx¨cosθ+(I+ml2)θ¨−mglsinθ=0​​

欧拉-拉格朗日方程可以描述为 d d t ( ∂ T ∂ q ˙ ) − ∂ T ∂ q + ∂ V ∂ q = F \begin{aligned} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial T}{\partial\dot q}\right) - \dfrac{\partial T}{\partial q} + \dfrac{\partial V}{\partial q} = F \end{aligned} dtd​(∂q˙​∂T​)−∂q∂T​+∂q∂V​=F​ 其中 q q q为系统的广义坐标系， F F F为系统的广义力, T T T为系统动能， V V V 为系统势能。

则对于一阶倒立摆系统来说，选择小车位移 x x x和倒立摆的角度 θ \theta θ作为广义坐标，小车推力 u u u为广义力，则有 T = 1 2 M x ˙ 2 + 1 2 I θ ˙ 2 + 1 2 m { [ d d t ( x + l sin ⁡ θ ) ] 2 + [ d d t ( l cos ⁡ θ ) ] } V = m g l cos ⁡ θ \begin{aligned} \begin{array}{l} T=\frac{1}{2} M \dot{x}^{2}+\frac{1}{2} I \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{2} m\left\{\left[\frac{d}{d t}(x+l \sin \theta)\right]^{2}+\left[\frac{d}{d t}(l \cos \theta)\right]\right\}\\ V=mgl \cos \theta \end{array}\end{aligned} T=21​Mx˙2+21​Iθ˙2+21​m{ [dtd​(x+lsinθ)]2+[<