前三篇文章介绍了期权希腊值delta，theta，gamma。在本文中，我们将选择期权vega进行介绍。

在计算希腊值时，波动率通常被视为隐含波动率BS模型中的常数波动率不同。在实际市场中，波动性往往随时间而变化，这意味着期权价格会随波动性而变化。

期权的vega描述期权价值变化与标的资产价格变化的比例。

若交易组合vega绝对值很大，这种交易组合的价值对波动性的细微变化非常敏感，当一个交易组合vega当价值为0时，资产价格波动率的变化对交易组合价值的影响很小。

考虑到无股息看涨期权合约，股价为49元，执行价为50元，无风险利率为5%，期限为20周，隐含波动率为20%，期权为Vega为12.1

from matplotlib import cm import math import numpy as np import matplotlib as mpl import matplotlib.pyplot as plt import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as p3 

# 定义标准正态分布的概率密度函数 def dN(x):     ''概率密度函数公式的标准正态分布'''     return math.exp(-0.5*x**2)/math.sqrt(2*math.pi) def N(d):     ''计算概率密度函数'''     return quad(lambda x:dN(x),-20,d,limit=50)[0] def d1f(St, K, t, T, r, sigma):     '''BS模型中的d1'''     d1=(math.log(St/K) (r 0.5*sigma**2)*(T-t))/(sigma*math.sqrt(T-t))     return d1 

# 定义看涨期权和看跌期权vega def BSM_vega(St, K, t, T, r, sigma):     ''' Black-Scholes-Merton GAMMA of European call/put option.      Parameters     ==========     St : float         stock/index level at time t     K : float         strike price     t : float         valuation date     T : float         date of maturity/time-to-maturity if t = 0; T > t     r : float         constant, risk-less short rate     sigma : float         volatility      Returns     =======     vega : float
        European call option GAMM
    '''
    d1 = d1f(St, K, t, T, r, sigma)
    vega=St*math.sqrt((T-t))*dN(d1)
    return vega

St=49
K=50
r=5/100
T=0.3846
t=0
sigma=0.2
vega=BSM_vega(St, K, t, T, r, sigma)
print('看涨期权的Vega值为：',round(vega,2))

看涨期权的Vega值为： 12.11

price=np.linspace(1.2,5.6,50)
K1=2.6
K2=2.7
K3=2.8
K4=2.9
r=5/100
T=1
t=0
sigma=0.2
vega_0=[BSM_vega(St, K1, t, T, r, sigma) for St in price]
vega_1=[BSM_vega(St, K2, t, T, r, sigma) for St in price]
vega_2=[BSM_vega(St, K3, t, T, r, sigma) for St in price]
vega_3=[BSM_vega(St, K4, t, T, r, sigma) for St in price]
plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(price,vega_0,label='k=2.6')
plt.plot(price,vega_1,label='k=2.7')
plt.plot(price,vega_2,label='k=2.8')
plt.plot(price,vega_3,label='k=2.9')
plt.xlabel('stock price')
plt.ylabel('option vage value')
plt.legend()
plt.show()

从图中可以看出，vega>0,平价期权的 Vega 较大。

在其他情况相同时，平价期权的vega大于实值或者虚值期权的Vega。

随着行权价的增加，vega逐渐向右移动，宽幅越大且峰值越高。当期权价格与行权价趋近时，Vega趋于峰值。

St=2.7
K1=2.6
K2=2.7
K3=2.8
K4=2.9
r=5/100
T=np.linspace(0.1,1,100)
t=0
sigma=0.2
vega_0=[BSM_vega(St, K1, t, T, r, sigma) for T in T]
vega_1=[BSM_vega(St, K2, t, T, r, sigma) for T in T]
vega_2=[BSM_vega(St, K3, t, T, r, sigma) for T in T]

plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(T,vega_0,label='k=2.6')
plt.plot(T,vega_1,label='k=2.7')
plt.plot(T,vega_2,label='k=2.8')

plt.xlabel('T')
plt.ylabel('option vage value')
plt.legend()
plt.show()

从图中可以看出，其他参数相同时，剩余期限越长，Vega 越大。

def plot_greeks(function, greek):
    # Model Parameters
    St =2.7  # 50ETF value
    
    t = 0.0  # valuation date
    
    r = 0.015  # risk-less short rate
    sigma = 0.2  # volatility

    # Greek Calculations
    tlist = np.linspace(0.01, 1, 50)
    klist = np.linspace(2.1, 3.6, 50)
    V = np.zeros((len(tlist), len(klist)), dtype=np.float)
    for j in range(len(klist)):
        for i in range(len(tlist)):
            V[i, j] = function(St, klist[j], t, tlist[i], r, sigma)

    # 3D Plotting
    x, y = np.meshgrid(klist, tlist)
    fig = plt.figure(figsize=(9, 5))
    plot = p3.Axes3D(fig)
    plot.plot_surface(x, y, V,cmap='rainbow')
    plot.set_xlabel('strike $K$')
    plot.set_ylabel('maturity $T$')
    plot.set_zlabel('%s(K, T)' % greek)

plot_greeks(BSM_vega, vega)

从图中可以看出，vega数值随着到期期限的增加而增加，但是vega的数值会随着标的资产价格从平价变为价内或者价外而减小。

本章介绍了期权希腊值的Vega，并且应用python进行了量化。