圆周率算法
古人通常用割圆法来计算圆周率。也就是说，圆的的内外切正多边形来接近圆的周长。Archimedes圆周率小数点后3位精度采用正96边形；刘徽用正3072边形获得5位精度；LudolphVanCeulen35位精度采用正262边形。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家在数学研究中有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。以下是一些经典的常用公式。除这些经典公式外，还有许多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，不一一列举。
Machin公式
该公式由英国天文学教授公布JohnMachin1706年发现。他用这个公式计算了100位的圆周率。Machin每计算一个公式可以得到1个.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
Machin.c源程序
还有很多相似之处Machin反正切公式。在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的。尽管如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin公式无力。以下算法，在PC在机器上计算一天左右，可以获得圆周率超过1亿位的精度。用程序实现这些算法更为复杂。由于计算过程涉及两个大数乘除运算，因此应使用FFT(FastFourierTransform)算法。FFT两个大数乘除运算时间可以通过O(n2)缩短为O(nlog(n))。
关于FFT请参考算法的具体实现和源程序XavierGourdon的主页
Ramanujan公式
1914年，印度数学家SrinivasaRamanujan在他的论文中发表了一系列共14个圆周率的计算公式，其中之一。每个公式都可以获得8位的十进制精度。1985年Gosper圆周率为17、500、000。
1989年，David&GregoryChudnovsky兄弟将Ramanujan公式改进为：
这个公式叫Chudnovsky每计算一个公式可获得15位的十进制精度。1994年Chudnovsky兄弟们用这个公式计算了4,044,000,000。Chudnovsky另一种更方便计算机编程的公式是：
AGM(Arithmetic-GeometricMean)算法
Gauss-Legendre公式：
重复计算：
最后计算：
这个公式每次迭代都会得到双倍的十进制精度，比如计算100万，迭代20次就够了。1999年9月Takahashi和Kanada将圆周率计算为206、158、430、00位，创造新的世界纪录。
Borwein四次迭代：
重复计算：
最后计算：
这个公式由JonathanBorwein和PeterBorwein它于1985年发表，四次收敛于圆周率。
Bailey-Borwein-Plouffe算法:
这个公式简称BBP公式，由DavidBailey,PeterBorwein和SimonPlouffe联合发表于1995年。它打破了传统的圆周率算法，可以在不计算前面的情况下计算任何n位的圆周率n-1位。这为分布式的分布式计算提供了可行性。1997年，FabriceBellard找个比BBP快40％的公式.
椭圆周长的近似公式是怎么推的？
请参见以下段落的第五大点：
关孝和工作了很多，近20部，但他生前只出版了一部《发微算法》(1674)。他死后，弟子整理了他的遗稿，出版了《括要算法》，其余都是未出版的。从这些作品的写作时间来看，孝和的数学研究可以分为两个阶段。他的数学作品基本上是1685年前完成的，以后因为体弱多病很少进行新的数学研究。在天文历法方面只写了一些注释下是他的主要贡献。
1.引入附近书法和代数标志，创造演段
这是关孝和最大的贡献。主要集录在他的作品《发微算法》(1674)和《三部抄》中的《解决问题的法》和《解决问题的法》(1683)。孝和运用演段术对日本数学家泽口一之(有资料说泽口一之是孝和的弟子)的《古今算法记》(1671)中的15道“遗题”作了分析和解答．但书中只有结果而把有关演段术的记述略去了，所以当时的日本人对他的解答一般都看不懂，于是就有人指责说《发微算法》可能是关孝和胡编乱造的．1680年，日本数学家佐治一平写了《算法介绍》，指出了《发微算法》中解法的错误，并给予了纠正。孝和的弟子建部贤宏作为对这类问题的回答，写了《发微算法演段谚语解释》(1685)，并详细讲解了孝和的演段术，使其传播开来。
孝和还在《三部抄》中阐述了靠近书法和演段。《三部抄》是《解决问题的方法》、《解决问题的方法》(1685)和《解决问题的方法》(1683)三部作品的总称。问题加减乘除来解决，隐藏的问题只能通过一个方程来解决。这也是三部电影各自名字的起源。书法首次出现在《解决问题的方法》中。所谓书法，就是在短垂直线旁边写文字作为标记来表达数量关系的一种方式。如甲加乙、甲减乙、甲减乙
乘乙分别写成乘乙|甲|乙”、“|甲乙”、“|甲乙；甲2，甲3，甲4…
将“甲÷乙记为乙|甲”．
孝和用上述符号处理文本方程，如方程
甲－乙×x＋丙×x2＋丁×x3＝0
|甲乙|丙|丁．
如果一个方程有两个未知数，例如
3y3＋5xy2＋8x2y＋4x3＝0，
用甲代替y，整个方程表示为
因为附近的书法可以表示包含两个或多个未知的方程，所以消元是可能的，这使得孝和可以用消元法解决方程组，从而得到他的行列理论。这些内容集中在解决问题的方法上。这本书介绍了一系列基于附近书法的算法。他称之为天元演段，后来扩展为归源整法。这一系列算法传到孝和的第二代弟子松永良，梁毕被他的君主内藤(1703-1766、关流和算家)命令将归源整法更名为点逃法。点逃法是利用上述书法系统研究公式变形、解方程(组)、行列等问题，相当于当前的初级代数学。但是，由于这种代数学不同于西方代数a，b，c，…以汉字加短垂线作为标记，因此，它不仅是日本的，也是整个汉字文化圈的文化财富。它是东方风格的象征代数
2.提出代数方程变换理论和行列理论
这项研究集中在解决问题的方法上。书中介绍的方程变换方法有：略、省、约、缩、叠、括等。乘以一个方程，然后从另一个方程中减去，称为略；如果一个方程有一个公因类型，则该公因类型被约去，称为省；当每个方程都有一个共同的数字系数（他称之为段数），他称之为约；当两个方程都不包含未知数x的奇次幂时，用换元法将其改为x2作为一个未知方程的未知数，称为缩减；叠加是两个方程乘以适当的公式，然后减少以消除某些项目；括是合并相同的功率系数，即合并相同的项目。孝和的表演在这些方法中得到了明确的表达。
他用这些方法解决方程组的基本思想是通过上述变化消除两个二元方程中的一个未知数，获得一元方程，然后解决这个一元方程。对于二元高二次方程组（设置两个方程，分别为m和xn，m≥n，此时，为了达到一次消元的目的，方程中每个项目中x的幂系数都是另一个未知数y的多项式)，他首先从原来的两个方程中导出n个关于x的方程n－1次方程，这些方程都写成标准形式，即方程右边为0，左边按x的升幂排列，他称这n个方程为“换式”．于是求解原方程组的问题就转化为求解由换式构成的方程组了．将这个方程组的各项中x的幂去掉，获取各种系数(y多项或单项）根据原始位置顺序构成的行列，使该行列等于0。获得的行列表示y的方程是原始方程组消除x后获得的一元方程。这样，解决原始方程组的问题就转化为解决一元方程的问题
为了简化和解释包含行列的方程，他继续改变行列。他的行列理论是由此产生的。他在书中介绍了两种计算行列值的方法：逐式交乘法和交斜乘法。
逐式交乘法的基本思想是将行列式的每一行乘以适当的公式，然后将每一列元素加入到第一列(即x除0系数对应的列外，其他列元素的和均为零，此时第一列元素的和为行列值。
当行列阶数较高时，显然不容易看到上述行列要乘以的因式。因此，他在书中介绍了另一种计算行列的方法，即交斜乘法。然而，他没有解释这种方法的依据，而是给出了规则，并用图纸解释了2-5阶行列的扩展。从这些说明中，他的交斜乘法大致相当于今天中学介绍的对角线法或扩展
西方对行列式的研究首次出现G．W．莱布尼茨(Leibniz)1693年写给G．F．A．洛比达(L’Hospital)孝和的《解伏法》于1683年完成，因此，孝和的研究至少比西方的研究早10年。西方最早发表的行列研究是G．克莱姆(Cramer)代数曲线分析介绍(Intro－ductionàl’analysedeslignescourbesalgébriques，1750)，比《解伏题法》晚70年。世界领先的关孝和研究。
3.研究了数字系数的高级方程，发现了负根和虚根，并提出了多项式的判别概念和多项式函数导函数
关孝和的这些成就主要包括在《解隐题法》、《开方算法》和作集《七本书》中。《七本书》是《开方翻变法》(1685)、《题术辨别法》(1685)、《病题明致法》(1685)、《方阵圆存法》(1683)、《算脱验符法》、《求积》、《球阙变形草解》等七部作品的总称。
两种类似的方法，分别是霍纳法和牛顿迭代法。孝和在字母系数方程中使用了这些解决方案f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn=0，从形式上取出f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1，多项形式上获得多项式函数f(x)此外，他还调查了只有虚根的方程(他称之为无商)和只有负根的方程(他称之为负商式”)和方程正、负根的个数问题，给出了判别式的概念，研究了方程正、负根存在的条件．在《题术辨议之法》和《病题明致之法》中，他将导出方程是“无商式”和“负商式”的问题归入“病题”之列，利用他对数字系数方程的研究介绍了变换“予量”而纠正“病题”的方法．
对于无商式f(x)＝0，他主要是变更方程的系数使其判别式取一定的数值，从而使得方程有正根或负根．这样的变换中又得出了f(x)取极大值(或极小值)的条件f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1＝0，由此式求出极值点x0，再代入f(x)可以求出极大值(或极小值)．这是今天通用的求极值方法的雏形，孝和称其为“适尽方级法”．这种求极值方法是关孝和独立发现的．
4．将中国的“三差之法”推广为一般的招差法，研究了数论问题并发明“零约术”
这些成果都集中在《括要算法》中．孝和去世之后，其遗稿全部传给了弟子荒木村英(1640—1718)．据说，村英与孝和本来同学于高原吉种门下，后来他又拜孝和为师，由于其在同门弟子中学德俱高，所以得到了孝和的全部遗稿．可是当时村英已年高体弱，就把整理孝和遗稿的工作交给自己的弟子大高由昌．大高由昌从遗稿中抽出数篇编辑成《括要算法》，村英为此作序，并于1712年出版．孝和的有关单行本至今尚存，与此比较看出，大高由昌在编辑时并没有作多大改动．只是孝和原稿中的“诸约之法”不包括“翦管术”，而《括要算法》中将“翦管术”列于“诸约之法”中．
(1)招差法这是由x＝x1，x2，…，xn和相应的y＝y1，y2，…，yn两组数据确定函数y＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系数的方法，相当于西方数学中的有限差分法．孝和的方法如下：
若所有平积相等，就有a3＝a4＝…＝0，这时可取a2＝δz1，a1＝z1－a2x1，这时的招差法称为“一次相乘之法”．若所有的立积都相等，则a4＝a5＝…＝0，可取a3＝δ2z1，再计算zi－a3x2i＝ui(1≤i≤n)，它是u＝a1＋a2x在x＝xi处的值，再对此施行“一次相乘之法”可得a2，a1的值．依此类推．
关孝和称a1，a2，…，an这些系数为“差”，求这些差为“招差”．上述求差的方法就是他的招差法．
对于n＝2，3，4的情况，求f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn系数的问题早在中国数学中已得到解决，孝和的贡献主要在于将这种“三差之法”推广到了n为任意自然数的一般招差法．
(2)约术及垛术他叙述的“约术”有互约、逐约、齐约、遍约、增约、损约、零约、遍通等．其中“逐约术”是给出n个整数a1，a2，…，an，确定各自的一个约数a′1，a′2，…，a′n，使这n个约数两两互素且其和等于a1，a2，…，an的最小公倍数．n＝2时，他把“逐约术”又称为“互约术”．“齐约”是求整数的最小公倍数．“遍约”是用整数的最大公约数分别去除这n个整数．“遍通”是分数通分．“增约”是求级数a＋ar＋ar2＋…的和，“损约”是求级数a－ar－ar2－…的和．“剩一术”是解一次不定方程ax－by＝1的方法．除“增约”和“损约”之外，这些都是数论的内容．
“零约术”是孝和的发明．它是一种确定无限不循环小数的近似分数的方法．在书中他用例子对零约术作了说明．比如边长为1尺的正方
取p1＝1，q1＝1，按下述规则确定后面的pn，qn．若
n，而相应的pn依次是1，3，4，6，7，9，10，11，13，14，16，17，18，20，21，23，24，26，27，28，30，31，33，34，35，37，38，40，41，43，44，45，47，48，50，51，52，54，55，57，58．于是有
它们都出现在上述的近似分数列中．
在《括要算法》最后一卷(贞卷)中，他用自己发明的这种零约术
给出，但他是怎样得到的呢？这一点却没有流传下来．孝和的这一工作给出了一种推导方法．
《括要算法》的第一卷(元卷)中还记述了“垛术”问题，即求
和Sp＝1p＋2p＋3p＋…＋np(他称其为“方垛积”)与求和
对于方垛积，他用招差法计算出了p＝1，2，3，…，11的情况，然后归纳得出了方垛积一般公式：
对于衰垛积，他也给出一般公式：
值得注意的是，方垛积公式中的B1，B2，…，Bn，…与伯努利数一样．而西方第一部导入伯努利数并给出上述公式的书是数学家雅格布·伯努利(JacobBernoulli)的《猜度术》(Arsconj－ectandi，1713)．可见关孝和与伯努利几乎同时发现了伯努利数．
(3)翦管术数论方面，他还研究了翦管术，即解同余式组b1x≡a1(modm1)，b2x≡a2(modm2)，…，bnx≡an(modmn)的方法．《括要算法》第二卷(亨卷)的“翦管术解”部分举出九个问题说明这种方法，前五个是b1＝b2＝…＝bn＝1的情况，根据m1，m2，…，mn是否两两互素而分为两种情况给出了解法；后四个问题都是b1，b2，…，bn不全为1的情况，利用逐约术和剩一术给出了解法．
翦管术的名称和问题形式在中国宋代杨辉的著作集《杨辉算法》中就有记述，但杨辉解决的同余式组只限于b1＝b2＝…＝bn＝1，且m1，m2，…，mn两两互素的情况，而且由于所举的例子涉及的数据都比较简单，往往是只靠心算就可以解决，而不用剩一术．可以说，孝和是从《杨辉算法》中得到了翦管术的名称和问题形式，但他由于发明了剩一术，又引入了逐约、互约概念，因而对m1，m2，…，mn不全两两互素的情况和b1，b2，…，bn不全为1的同余式组问题也完满地解决了．因此可以说是关孝和发展完善了翦管术．
5．给出了一些曲线求长和立体求积的近似方法
这些研究主要集中在《解见题之法》、《求积》及《毬阙变形草解》中．其中创新性的成果在于他给出了椭圆周长、阿基米德螺线长的近似算法，解决了圆环体、弧环体和十字环的近似求积问题．
(1)椭圆周长与阿基米德螺线长《解隐题之法》中第一次出现椭圆周长的近似算法．他将椭圆看成是从不同角度看圆时得到的图形，得出椭圆周长L的近近似计算公式：
L2＝π2(长径×短径)＋4×(长径－短径)2．
此书中还解决了“畹背”问题，即求所谓“畹形”长度的问题．如图1，将扇形OAB用半径OC1，OC2，…，OCn-1n等分，再将半径OA用C′1，C′2，…，C′n-1n等分，经过OA的各分点以O为圆心分别画弧，得到过C′k点的弧与半径OCk的交点Dk(0≤k≤n，记O点为D0，A点为Dn)，Dk点的轨迹即是“畹形”．可见，畹形就是阿基米德螺线．他给出畹形长(背)的计算公式：
至于他是如何得到这个公式的，书中没有说明．
(2)圆环体、弧环体和十字环的体积所谓圆环体是圆绕其所在平面上与圆没有公共点的一条直线旋转一周所得到的立体；弧环体则是由弓形绕其所在平面上与弓形没有公共点的一条直线旋转一周所得的立体．关孝和设想，把圆环体截断伸直，圆环体就变成圆柱，因此圆环体的体积就等于这个截面(圆面)的面积乘以这个“圆柱”的高(即圆环体的“中心圆”周长)．他这样计算是假定了“圆环体经截断伸直成圆柱后体积不变”，以此假定为基础，他用弓形的面积乘以弧环体的中心圆周长作为弧环体的体积．这里所说的中心圆是指在圆(或弓形)旋转过程中，圆(或弓形)面上一个特定点所形成的圆，这个特定点就是圆(或弓形)的重心．可见，孝和已经有了“重心”这一概念．他这样计算圆环体、弧环体的体积的方法相当于帕波斯－古尔丁(Pappus－Guldin)定理所叙述的方法．
所谓“十字环”是指两个圆柱体与一个圆环体互相截取组成的立体，如图2所示，两个圆柱的轴互相垂直且都通过圆环体的重心，圆柱被圆环体的表面所截，并且两圆柱的底半径与圆环体的截面半径相等．这一问题最早出现在榎并和澄的《参两录》(1653)中，孝和首次用近似方法求出了十字环的体积．
另外，《毬阙变形草解》也是主要研究求积问题的著作．不过此书所涉及的多是阙球(用平面去截球体所得)、阙圆柱(用平面去截圆柱所得)、弧锥(底是弓形的锥体)和弧台(两底都是弓形的台体)等复杂的立体．他通过将这些立体变形而给出这些立体的近似求积方法．他把此书命名为《草解》，可见还有未尽之意，这说明上述一类立体的求积是当时最难的求积问题．
6．创立圆理、角术，解决了有关圆弧长、球体积及正多边形的一些问题
“圆理”一词在后来的和算家中常用来总称求解曲线长、图形(平面图形或曲面图形)的面积及立体的体积的方法．但孝和创立的圆理只限于圆、球的有关计算．他关于圆理的研究主要集中在《括要算法》第4卷(贞卷)中，由“求圆周率术”、“求弧矢弦率术”和“求立圆积率术”(立圆即球)三部分组成．他求圆的正215，216，217边形的周长a，b，c，并对此施以增约术，用a，b，c的一种平均值
作为圆周长的近似值，由此求得圆周率的小数点后11位数字，接着又用
他的“求弧术”是由弦a，矢c，径d来求弧长s的方法，他给出公式：
其中A0，A1，A2，A3，A4，A5是由c＝c0，c1，c2，c3，c4，c5和相应的s＝s0，s1，s2，s3，s4，s5来确定的．
如果上述插值公式中没有分母(d－c)i(i＝1，2，…，5)，则与牛顿插值公式完全一样．这个公式与牛顿插值公式的原理相同．牛顿插值公式是I．牛顿(Newton)发现的，W．琼斯(Jones)得到牛顿允许后著成《微分法》(Methodusdifferentilis，1711)将其公布于世，而《括要算法》是1709年写成序、跋，1712年出版的，因此可以说关孝和与牛顿几乎同时各自独立地发现了这个公式．
对于球的体积，他提出了“求立圆积率术”，首先用平行平面把球截成50个薄片，将各薄片先看成以各自的接近球心一侧的底面为底的圆柱，求这50个“圆柱”的体积之和；再将各薄片看成是以各自的另一底面为底的圆柱，求出这50个“圆柱”的体积之和，再求出这两个体积和的平均值a作为这50个薄片的总体积．同样将球截成100个、200个薄片，分别如上求出这100个、200个薄片的总体积b和c，用增约术求出
将其作为球体积．虽然这一过程中用增约术的条件并不充足，但他如此分割—转换—求和的求积方法中，积分思想已开始萌芽．
“角术”是建立正多边形的边长与外接圆半径、边长与内切圆半径之间关系式的方法．他对正3—20边形分别给出了这种关系式，而以前的和算家只是求出了边数不大于15的正多边形的上述关系式．另外，孝和在推导过程中所用的几何学上的定理，有一些是仅凭直觉得到的．
7．研究了幻方问题，又用同余式解决了日本流传的古老的“继子立”即“立后嗣”的问题
《七部书》中的《方阵之法·圆攒之法》给出了幻方(他称为“方阵”)和圆攒的一般构造方法，即按一定规律变化n－2阶幻方的每一个数，将其相应地作为“内核”，再在外圈上按一定规则填上4n－4个数就可以得到n阶幻方．这种方法与16世纪德国数学家M．施蒂费尔(Stiefel)首次在其著作《整数算术》(Arithme－ticaIntegra，1544)中尝试证阴幻方的思想是一致的．
“继子立”是在日本广泛流传的一个古老问题，它说的是，某贵族家有30个孩子，其中15人是前妻所生，15人为后妻所生．要从这30个孩子中选出一个来继承家业，就让这30个孩子排成一圈，从某一个小孩开始往下数，让第10个孩子从圈中退出，再从下一个继续数，数到20时就让对应20的那个孩子从圈中出去．照此数下去，数到整十的数时就把对应该数的孩子从圈中拉出，直到最后剩下一个孩子，就由这个孩子来继承家业．如果现在只剩下一个前妻之子和14个后妻之子了，那么只要从这个前妻之子开始数，就可以使这个孩子成为“继子”．
孝和在《算脱验符之法》中将这个问题理论化并用同余式进行了推导证明．
除上述著作之外，孝和在数学方面还写下了《角法并演段图》、《阙疑抄一百问答术》、《勿惮改答术》等书．在天文历法方面他也有许多著作，如《授时历经立成》四卷、《授时历经立成立法》(1681)、《授时发明》、《四余算法》(1697)、《星曜算法》、《数学杂著》(又名《天文数学杂著》)等．
先前数学对关孝和的影响
从上面的介绍可以看出，关孝和的数学研究有的起源于在他之前的和算著作中的“遗题”．他最初的数学著作《发微算法》是对泽口一之的《古今算法记》(1671)中遗题的解答．他还解答了礒村吉德的《算法阙疑抄》(1659)的100道遗题和村濑义益的《算法勿惮记》(1673)的遗题，至今尚存有关的抄本．有些遗题成为关孝和研究的起点．例如《算法阙疑抄》第45个问题(“圆台斜截口”)引出了他对椭圆的研究；第41个问题(“俱利加罗卷”，即在圆锥形棒上緾绳，求绳长)引出了他对畹背问题的研究．他的一些重要的思想方法也是从这些著作中得到的．例如，泽口一之在《古今算法记》中通过变换方程系数避开了有两个正根的情况，关孝和由此受启发变换“无商式”和“负商式”系数使其根达到要求，进而得到了求多项式函数的极大值、极小值的“适尽方级法”．他在《题术辨议之法》中，对“碎术”(即“自远至近数次而求所问”的方法，他认为“其术不定也”，因而不是最恰当的方法)问题采用逐次逼近法解决，这可能是从《算法勿惮改》中受到启发的，因为《算法勿惮改》在日本是首次使用逐次逼近法的著作．
但是，他的最主要的数学成就并不能在他之前的和算著作中找到线索，这就在他的研究与先前和算家的研究之间形成了一个“断层”．一些人认为，弥补这个断层的是中国数学和西方数学对他的影响．据日本武林史著作《武林隐见录》(1738)中“关新助算术秩事”一条记载，孝和估计到南部某寺收藏的“唐本”(指古时由中国传到日本的书籍)中可能有数学书，就去南都搜寻，并将其抄录下来带回江户研究．从此类“秩事”中可知关孝和在研究中参考了中国数学著作．
从孝和的数学成果来看，对他的研究产生较大影响的中国数学著作是《杨辉算法》(1378)和清朝的《天文大成管窥辑要》等．《杨辉算法》是杨辉的《乘除通变本末》(上卷为《算法通变本末》，中卷为《乘除通变算宝》，下卷为《法算取用本末》，与史仲荣合著)、《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》三部著作合刻的，在朝鲜重刻后传入日本并保存下来．孝和从《杨辉算法》中得到了“翦管术”的名称和问题形式，并完善了“翦管术”．另外，《杨辉算法》中已有类似于“霍纳法”的解方程方法，大概是孝和从中受到启发，才提出了分别相当于霍纳法和牛顿逼近法的两种解方程方法．
朝黄鼎的《天文大成管窥辑要》对孝和也有影响．孝和的《授时发明》(或称《天文大成三条图解》)就是对此书第三卷的解释，由此看来孝和曾仔细研究过这部书．书中有对元朝郭守敬《授时历》中“三差法”所作的解说，可能由此引出了孝和对“招差法”的研究．
关于西方数学的影响是进入明治时代之后才开始研究的．17世纪中叶荷兰莱顿大学的F．范·斯霍腾(Schooten)教授有一个学生，名叫P．哈特辛乌斯(Hartsingius)，是日本人．这由荷兰阿姆斯特丹大学的D．J．科尔泰韦赫(korteweg)教授给林鹤一博士的信中可知．这个日本人后来是否回到日本已无法证实．但据日本数学史家三上义夫考证，那个时期在日本有一名叫鸠野巴宗的医学家，此人或许就是哈特辛乌斯．如果这个推测正确，则说明当时已经有人将西方数学带回日本了，从而可以认为关孝和的数学研究直接受到西方数学的影响．
从以上的介绍可以看出，关孝和从以往数学家的研究中发现问题，又对这些问题从理论上加以解决或者将其推广为一般性方法．除此之外他还有自己的首创性研究．这些成果奠定了和算的基础，摆脱了日本数学家单纯介绍中国数学的传统束缚，成为后世和算家的典范．
关流数学教育及关流弟子
关孝和作为一个数学家的同时又是一位数学教育家．他一生中亲自授过课的弟子就有几百人，其中最杰出的是荒木村英及建部贤弘、建部贤明两兄弟，村英的弟子中有松永良弼，贤弘的弟子中有中根元圭，元圭弟子中有山路主住等最为著名．孝和与他的弟子们的研究构成了和算的一个最大流派——关流(关流各代数学家系谱如文后图所示)．能培养出这许多杰出的弟子，与孝和创立的教育方式有很大关系．他根据学生的情况分成五个等级分别集中指导，每一级都规定有相应的具体数学内容和具体教材．初级的教以珠算，进而筹算，高级的从演段术到点窜术，随着每一级学生学业的完成而分别授以相应的“免许证”，相当于现在的毕业证，有“见题免许”、“隐题免许”、“伏题免许”、“别传免许”和“印可免许”五个等级．后来这种方式不断发展，成为关流严格的教育制度——五段免许制．只有得到五个等级的免许之后，才可以被称为“关流第几传”，而且最后得到“印可”的只限于几名高徒．后来随着数学研究的发展，加入到各等级的学习内容不断增加，五段免许制日益完善和严格．到了山路主住成为关流掌门人时，据说规定一代弟子中只传一子和高徒二人．
关于所用的教材，除了关孝和的著作之外，其他关流数学家也写过教科书，如山路主住的《关流算术》45卷作为关流入门者的最初教程；久留岛义太的《广益算梯》25卷也作为数学初学者的教材．
可见，关孝和创立的五段免许制体系，已有班级授课制的萌芽．
附：关流系谱
参考资料：
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π（pai）的值是怎么算出来的``？？？
在不同的历史时期，受制于生产力发展水平和科技发展水平，π 的计算方法、计算效率、准确度各不相同。圆周率（π）的计算方法的探索主要有实验时期、几何法时期、分析法时期、计算机时代。
1、实验时期——对圆周率的估算：
一块古巴比伦石匾（约产于公元前1900年至1600年）清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书（Rhind Mathematical Papyrus）也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605。埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。
英国作家 John Taylor (1781–1864) 在其名著《金字塔》（《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》）中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》（Satapatha Brahmana）显示了圆周率等于分数339/108，约等于3.139。
2、几何法时期——对圆周率的计算开始走向主动，并趋于科学：
（1）古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。
古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。
他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7， 并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。
（2）中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取
汉朝时，张衡得出
（约为3.162）。这个值不太准确，但它简单易理解。
（3）公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。
刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率
（4）公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率
密率是个很好的分数近似值，要取到
才能得出比
略准确的近似。
在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托（Valentinus Otho）得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯（Metius）的著作中，欧洲称之为Metius' number。
（5）约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为
婆罗摩笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。
（6）阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen）于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
3、分析法时期——科学推演圆周率：
这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。
第一个快速算法由英国数学家梅钦（John Machin）提出，1706年梅钦计算π值突破100位小数大关，他利用了如下公式：
其中arctan x可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。
斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了梅钦于1706年提出的数式。
到1948年英国的弗格森（D. F. Ferguson）和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
4、计算机时代——科学高效计算圆周率：
电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。
1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer）在阿伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。
五年后，IBM NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。
在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。这算法被称为布伦特-萨拉明（或萨拉明-布伦特）演算法，亦称高斯-勒让德演算法。
1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型（Cray-2）和IBM－3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月7日——法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。
2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。
扩展资料：
1、国际圆周率日：
2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。
国际圆周率日可以追溯至1988年3月14日，旧金山科学博物馆的物理学家Larry Shaw，他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做3又1/7圈(22/7，π的近似值之一)的圆周运动，并一起吃水果派。之后，旧金山科学博物馆继承了这个传统，在每年的这一天都举办庆祝活动。
2009年，美国众议院正式通过一项无约束力决议，将每年的3月14日设定为“圆周率日”。决议认为，“鉴于数学和自然科学是教育当中有趣而不可或缺的一部分，而学习有关π的知识是一教孩子几何、吸引他们学习自然科学和数学的迷人方式……π约等于3.14，因此3月14日是纪念圆周率日最合适的日子。”
2、圆周率在各学科中的应用：
（1）几何：
（2）代数：
π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明的。 1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更证明了π是超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。
圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。
（3）数论：
两个任意自然数是互质的概率是
任取一个任意整数，该整数没有重复质因子的概率为
一个任意整数平均可用
个方法写成两个完全数之和。
（4）概率论：
设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板，随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题。1777 年，布丰自己解决了这个问题——这个概率值是 1/π。
（5）统计学：
正态分布的概率密度函数：
（6）物理学：
海森堡不确定性原理：
相对论的场方程：
参考资料来源：搜狗百科 - 圆周率圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对 π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说："历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。"直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。我们可以将这一计算历程分为几个阶段。
实验时期
通过实验对 π 值进行估算，这是计算 π 的的第一阶段。这种对 π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前"圆径一而周三"曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆"周三径一"这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做："周三径一，方五斜七"，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为"古率"。
早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度，公元前六世纪，曾取 π= √10 = 3.162。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。
几何法时期
凭直观推测或实物度量，来计算 π 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。
真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把 π 的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。
圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。
当然，这是一个差劲透顶的例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。
阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的测定》之中。在这一书中，阿基米德第一次创用上、下界来确定 π 的近似值，他用几何方法证明了"圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) "，他还提供了误差的估计。重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。
割圆术。不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。
在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为"徽率"，他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。
恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此，《隋书·律历志》有如下记载："宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。"
这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率
3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927
其二是，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。
他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为"祖率"。
这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。
中国发行的祖冲之纪念邮票
祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎"发现宫"科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山……
对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示 π 这一点，通常人们不会太注意。然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义。
密率与 π 的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5。数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近 π 的分数。在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果。
可见，密率的提出是一件很不简单的事情。人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注。由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知。后人对此进行了各种猜测。
让我们先看看国外历史上的工作，希望能够提供出一些信息。
1573年，德国人奥托得出这一结果。他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结果377／120用类似于加成法"合成"的：(377-22) / (120-7) = 355/113。
1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用两者作为 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。
两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。
在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发，六次加成到约率，第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成，得47／15，依次类推，只要加成23次就得到密率。
钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承天首创的"调日法"或称加权加成法。他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9，于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一举得到密率。钱先生说："冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。"
另一种推测是：使用连分数法。
由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行，所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的。于是有人提出祖冲之可能是在求得盈 二数之后，再使用这个工具，将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…
最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作为圆周率的近似值。至于上面圆周率渐近分数的具体求法，这里略掉了。你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看。英国李约瑟博士持这一观点。他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说："密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。"
我国再回过头来看一下国外所取得的成果。
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是：
π＝3.14159265358979325
有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。
16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算 π 近似值，用 6×216正边形，推算出精确到9位小数的 π 值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制。17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率 π 被称为"鲁道夫数"。但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。
17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解。 π 的计算历史也随之进入了一个新的阶段。
分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。
1593年，韦达给出
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出 π 值。
接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年给出：
1706年，梅钦建立了一个重要的公式，现以他的名字命名：
再利用分析中的级数展开，他算到小数后100位。
这样的方法远比可怜的鲁道夫用大半生时间才抠出的35位小数的方法简便得多。显然，级数方法宣告了古典方法的过时。圆周率π的计算历程
圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对 π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。我们可以将这一计算历程分为几个阶段。
通过实验对 π 值进行估算，这是计算 π 的的第一阶段。这种对 π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为“古率”。
早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度，公元前六世纪，曾取 π= √10 = 3.162。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。
几何法时期
凭直观推测或实物度量，来计算 π 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。
真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把 π 的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。
圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。
当然，这是一个差劲透顶的例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。
阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的测定》之中。在这一书中，阿基米德第一次创用上、下界来确定 π 的近似值，他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他还提供了误差的估计。重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。
割圆术。不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。
在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。
恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此，《隋书·律历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”
这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率
3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927
其二是，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。
他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。
这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。
中国发行的祖冲之纪念邮票
祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山……
对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示 π 这一点，通常人们不会太注意。然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义。
密率与 π 的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5。数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近 π 的分数。在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果。
可见，密率的提出是一件很不简单的事情。人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注。由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知。后人对此进行了各种猜测。
让我们先看看国外历史上的工作，希望能够提供出一些信息。
1573年，德国人奥托得出这一结果。他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结果377／120用类似于加成法“合成”的：(377-22) / (120-7) = 355/113。
1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用两者作为 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。
两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。
在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发，六次加成到约率，第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成，得47／15，依次类推，只要加成23次就得到密率。
钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承天首创的“调日法”或称加权加成法。他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9，于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一举得到密率。钱先生说：“冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。”
另一种推测是：使用连分数法。
由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行，所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的。于是有人提出祖冲之可能是在求得盈 二数之后，再使用这个工具，将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…
最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作为圆周率的近似值。至于上面圆周率渐近分数的具体求法，这里略掉了。你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看。英国李约瑟博士持这一观点。他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说：“密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。”
我国再回过头来看一下国外所取得的成果。
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是：
π＝3.14159265358979325
有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。
16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算 π 近似值，用 6×216正边形，推算出精确到9位小数的 π