一. 什么是树？
二. 二叉树
- 特殊二叉树
- 二叉树的性质
- 储存二叉树
- 二叉树遍历
- 基本操作-toc" style="margin-left:80px;">二叉树的基本操作
一.什么是树？
我们以前学过一些简单的数据结构，比如顺序表，链表，这些都是线性结构，线性结构的特点是结构中的数据元素之间一对一的关系
今天我们需要联系一个
首先，什么是树型结构？
树形结构中的数据元素之间有一种一对多的层次关系
树型结构反映了数据元素之间层次关系和分支关系，它与自然界中的树非常相似。树结构广泛存在于现实生活中，如企业的组织结构图。此外，它还广泛应用于计算机科学，如编译程序中源程序的语法结构；树结构组织信息也用于数据库系统。
- 有一个特殊的结点，称为根结点，没有前驱结点
- 除根结点外，其他结点分为M(M > 0)个不相交的集合T1、T2..、Tm，每一集 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵类似树的子树。每棵子树的根结点有，只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的。 树的定义实际上是我们在解释栈时提到的方法。也就是说，树的概念也被用于树的定义，这是一种相对较新的定义方法。图中的子树T1和子树T2就是根结点A的子树。
对于树的定义还需要强调两点:
1. 是是的，不可能有多个根点。不要和真正的树混在一起。真正的树有很多根，那就是真正的树。数据结构中的树只能有一个根点。 2. 子树的数量没有限制，但它们必须是的。
需要注意的是，在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
总结一些关于树概念：
- 结点的度：含子树的结点数称为结点度； 如上图：A的度为6
- 树的度：在一棵树中，所有结点的最大值都称为树的度； 如上图所示：树的度为6
- 叶结点或终端结点：0度结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...叶结点等节点
- 双亲结点或父结点：若结点含有子结点，则该结点称为子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
- 儿童结点或子结点：结点中子树的根结点称为结点的子结点； 如上图：B是a的子结点
- 根结点：在一棵树上，没有双亲结点；如上图所示：A
- 结点的层次：从根开始定义，根是第一层，根的子结等
- 树的高度或深度：高度是树中结点的最大层次，相当于最大深度；深度相当于层数
树的以下概念，用的不多
- 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...分支结点等节点
- 兄弟结点：同父结点的结点互称兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
- 堂兄弟结点：父母在同一层的结点是表兄弟；如上图所示：H、I为兄弟结点
- 结点的祖先：从根到结点分支的所有结点；如上图所示：A是所有结点的祖先
- 子孙：以结点为根的子树中的任何一个结点都被称为结点的后代。如上图所示：所有结点均为A的后代
- 森林：由m（m>=0)由不相交的树组成的集合称为森林
与线性表和树的结构相比，它们有很大的不同
树结构比线性表复杂，存放起来比较麻烦。实际上，树的表达方式有很多，如父母、孩子、父母、兄弟等。在这里，我们将简要了解最常用的一个
首先，我们抽象树木
class Node { int value; // 存储在树上的数据 Node firstChild; // 引用第一个孩子 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 }我们引用一张图片来看这个代码
如果child和brother如果不指向另一个，它们就是null，如A的brother的值就是null
我们稍后再介绍其他表达方法
二.二叉树
下面我们正式介绍二叉树
二叉树( Binary Tree)是n(n≥0)一个结点的有限集合可以是空集(称为空二叉树)，也可以是一个根点和两棵树分别不相交的根点由二叉树组成。
一般情况下，在某一阶段有两种结果，如开和关、0和1、真假、上和下、对与错、等。合用树状结构来建模，而这种树是一种很特殊的树状结构，叫做二叉树。
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 1. 或者为空 2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出： 1. 二叉树度大于2的结点(每个节点最多两个子树) 2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
特殊二叉树
我们再来介绍一些特殊的二叉树。这些树可能暂时你不能理解它有什么用处，但先了解一下，以后会提到它们的实际用途。
顾名思义，斜树一定要是斜的，但是往哪斜还是有讲究。所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。下图中的树分别就是左斜树和右斜树。斜树有很明显的特点，就是每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树
单是每个结点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同 一层上，这就做到了整棵树的平衡。因此，满二叉树的特点有: (1)叶子只能出现在最下一-层。出现在其他层就不可能达成平衡。 (2)非叶子结点的度- -定是2。否则就是“缺胳膊少腿”了。 (3)在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i (1<i≤n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树，如图所示
注：这里有个关键词是
也就是说树。因此，在完全二叉树中，
我们重点介绍一下
上图中因为5结点没有左子树，却有右子树，那就使得按层序编号的第10个编号空档了。所以它不是完全二叉树
图中又是因为5编号下没有子树造成第10和第11位置空档。所以不是完全二叉树
由于编号连续，所以是完全二叉树
那么现在，我想你一定对满二叉树、完全二叉树的概念有了一些了解
二叉树的性质
下面我们来学习一下二叉树的性质，二叉树有一些需要理解并记住的特性，以便于我们更好地使用它。
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1) (i>0)个结点 2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^(k-1) (k>=0) 3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1 4. 具有n个结点的完全二叉树的深度 k 为 log2(n+1)上取整 5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点，则对于序号为i的结点有：
- 若孩子结点的序号为i，若i>0，则双亲序号：(i-1)/2；若i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若父亲结点的序号为i若 2i+1<n，则左孩子序号：2i+1，否则无左孩子；若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
注：
对于性质3的推导，需要用到边和结点的个数的关系，分别看n0、n1、n2的边数
二叉树的存储
对于二叉树的存储，由于树是一种。所以顺序存储实现树是比较困难的，但是二叉树是一种特殊的树，由于它的特殊性，使得用顺序存储结构也可以实现，但目前我们先不对顺序存储实现二叉树做过多的叙述，因为对于二叉树的存储，顺序存储的适用性并不强，用的最多的往往是链式存储结构，下面我们就来介绍
叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计-一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表。结点结构图如表所示。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}我们可以把两种方法抽象化
孩子表示法其实就是由下图这样的结点一个一个组成的
那么每个结点之间是怎么建立连接的呢，我们简单画个示意图
结构示意图如图所示
也就是多了一个存储双亲结点的引用
孩子双亲表示法后续会在平衡树位置介绍，本文采用来构建二叉树
由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
下面我们试着创建一个这样的二叉树
public class BinaryTree {
static class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;//左孩子的引用
public TreeNode right;//右孩子的引用
public TreeNode(char val){
this.val = val;
}
}
public TreeNode root;//根结点
public void createTree(){
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
root = A;
}注意：
二叉树的遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：(Preorder Traversal 亦称先序/先根遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
- LNR：(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
- LRN：(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树、再前序谝历右子树。
遍历的顺序为: ABDGHCEIF
：根的左子树--->根节点--->根的右子树，规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点)，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。
遍历的顺序为: GDHBAEICF。
：根的左子树--->根的右子树--->根节点。规则是若树为空，则空操作返回，否则丛左到有先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。
遍历的顺序为: GHDBIEFCA
除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在 层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历
练习：根据以上二叉树的遍历方式，给出以下二叉树的
前序：ABDEHCFG
中序：DBEHAFCG
后序： DHEBFGCA
层序：ABCDEFGH
我们可以通过几个题目巩固一下
用代码实现三种遍历（递归、非递归）
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class BinaryTree {
static class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;//左孩子的引用
public TreeNode right;//右孩子的引用
public TreeNode(char val){
this.val = val;
}
}
//public TreeNode root;//根结点
/**
* 创建一棵二叉树 返回这棵树的根结点
* @return 根结点
*
*/
public TreeNode createTree(){
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
// 前序遍历（递归，无返回值）
public void preOrder(TreeNode root){
if(root == null)return;
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
//前序遍历（递归，有返回值）
public List<Character> preorderTraversal(TreeNode root) {
List<Character> ret = new ArrayList<>();
if(root==null)return ret;
ret.add(root.val);
List<Character> leftTree = preorderTraversal(root.left);
ret.addAll(leftTree);
List<Character> rightTree = preorderTraversal(root.right);
ret.addAll(rightTree);
return ret;
}
//前序遍历（非递归）
public List<Character> preorderTraversalNor(TreeNode root) {
List<Character> list = new ArrayList<>();
if(root==null) return list;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while(cur!=null || !stack.empty()){
while (cur!=null){
stack.push(cur);
list.add(cur.val);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
cur = top.right;
}
return listist;
}
// 中序遍历（递归，无返回值）
public void inOrder(TreeNode root){
if (root==null)return;
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
//中序遍历（递归，有返回值）
public List<Character> inorderTraversal(TreeNode root) {
List<Character> ret = new ArrayList<>();
if(root==null)return ret;
List<Character> leftTree = inorderTraversal(root.left);
ret.addAll(leftTree);
ret.add(root.val);
List<Character> rightTree = inorderTraversal(root.right);
ret.addAll(rightTree);
return ret;
}
//中序遍历（非递归）
public List<Character> inorderTraversalNor(TreeNode root) {
List<Character> list = new ArrayList<>();
if(root==null) return list;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while(cur!=null || !stack.empty()){
while (cur!=null){
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
list.add(top.val);
cur = top.right;
}
return list;
}
// 后序遍历
public void postOrder(TreeNode root){
if (root==null)return;
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}
//后序遍历（递归，有返回值）
public List<Character> postorderTraversal(TreeNode root) {
List<Character> ret = new ArrayList<>();
if(root==null)return ret;
List<Character> leftTree = postorderTraversal(root.left);
ret.addAll(leftTree);
List<Character> rightTree = postorderTraversal(root.right);
ret.addAll(rightTree);
ret.add(root.val);
return ret;
}
//后序遍历（非递归）
public List<Character> postorderTraversalNor(TreeNode root) {
List<Character> list = new ArrayList<>();
if(root==null) return list;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
TreeNode prev = null;
while (cur!=null || !stack.empty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.peek();
if (top.right == null || top.right == prev) {
stack.pop();
list.add(top.val);
prev = top;//记录一下最近一次被打印的结点，防止重复打印
} else {
cur = top.right;
}
}
return list;
}二叉树的基本操作
// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);代码
public static int nodeSize;
// 获取树中节点的个数（遍历思路）
public int size1(TreeNode root){
if(root==null)return 0;
nodeSize++;
size1(root.left);
size1(root.right);
return nodeSize ;
}
// 获取树中节点的个数（子问题思路）
//结点数 = 左树 + 右树 +1
public int size2(TreeNode root) {
if(root==null)return 0;
return size2(root.left)+size2(root.left)+1;
}
public int leafSize;
// 获取叶子节点的个数（遍历思路:满足叶子节点就++）
public int getLeafNodeCount1(TreeNode root){
if(root == null) return 0;
if(root.left==null && root.right==null) leafSize++;
getLeafNodeCount1(root.left);
getLeafNodeCount1(root.right);
return leafSize;
}
// 获取叶子节点的个数（子问题思路：左树叶子结点+右树叶子节点）
public int getLeafNodeCount2(TreeNode root){
if(root == null) return 0;
if(root.left==null && root.right==null) return 1;
return getLeafNodeCount2(root.left)+getLeafNodeCount2(root.right);
}
// 获取第K层节点的个数(左树 k-1 层个数 + 右树 k-1 层个数 )
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
if(root == null) return 0;
if(k == 1) return 1;
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}
// 获取二叉树的高度（左树、右树高度的最大值+1）
public int getHeight(TreeNode root){
if(root==null) return 0;
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1 ;
}
// 检测值为value的元素是否存在
public TreeNode find(TreeNode root, int val){
if(root==null)return null;
if(root.val==val) return root;
TreeNode ret = find(root.left,val);
if(ret!=null){
return ret;
}
ret = find(root.right,val);
if(ret!=null){
return ret;
}
return null;
}
//层序遍历（非递归:用队列）
public void levelOrder(TreeNode root){
if(root == null)return;
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()){
TreeNode cur = queue.poll();
System.out.print(cur.val+" ");
if(cur.left != null) queue.offer(cur.left);
if(cur.right != null) queue.offer(cur.right);
}
}
//层序遍历（返回其节点值的 层序遍历）
public List<List<Character>> levelOrder2(TreeNode root){
List<List<Character>> ret = new ArrayList<>();
if(root == null) return ret;
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
int size = queue.size();
List<Character> list = new ArrayList<>();//每一层
while (size!=0){
TreeNode cur = queue.poll();
list.add(cur.val);
size--;
if(cur.left!=null) queue.offer(cur.left);
if(cur.right!=null) queue.offer(cur.right);
}
ret.add(list);//每一层
}
return ret;
}
// 判断一棵树是不是完全二叉树
//把一个结点从队列中弹出的时候，把它的左结点和右结点入队，依次这样循环操作
//当有null弹出，如果队列中剩下的全部都是null，则为完全二叉树，如果不全是则不是完全二叉树
public boolean isCompleteTree(TreeNode root){
if(root==null) return false;
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode cur = queue.poll();
if(cur!=null){
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
}else{
break;
}
}
//第二次遍历队列 判断队列中是否有不为空的元素
while(!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.peek();
if (cur == null) {
queue.poll();
} else {
return false;
}
}
return true;
}好了，关于二叉树先介绍这么多，我们准备了一些题目帮助你更好地理解二叉树