之前不经意间接触过求突变点的问题。在我看来，与其说是求突变点，不如说是我们经常玩的"找不同"。给你两个图像，让你找出两个图像的区别。我觉得这其实是生活中突变点的应用之一。回到找到突变点的位置，我以前有一个愚蠢的方法：直接找到前后两个采样的差异值，最后设置阈值。如果差异值大于此阈值，则该点为突变点。但是这种方法有很大的问题。实际上，突变点幅值有大有小。你如何确定阈值是多少？也有可能信号的原始差分比你突变点的差分大。因此，这种方法在信号或噪稍微复杂一点就行不通了。
近年来，我看到了一种新的船舶信号突变点检测方法——基于小波变换的信号突变点检测。因此，我学习了小波变换的相关知识和应用。我没有深入学习，但我也模糊地觉得小波变换确实是检测突变点的利器。以下分为两部分，总结了我学到的小波变换求突变点的实现过程和相关知识理论。
实现小波变换信号突变点
我喜欢直接从应用程序开始，或者将应用程序与理论结合起来。一步一步地分析代码，看到数据和图像的变化比一步一步地推动公式更有趣（尽管它可能是错误的）。所以在这里，我将直接访问代码和图像，这样我们就可以首先对整个过程有一个感性的理解。
生成原始信号
首先生成原始信号，这里任何信号都可以，然后我生成一个正弦信号，具体信号参数见代码注释。
clear all; close all; clc;
Fs = 1000; % 采样频率1000Hz
Ts = 1 / Fs; % 采样时间间隔1ms
L = 1000; % 采样点数1000
t = (0 : L - 1) * Ts; % 采样时间。1000点，每点1点ms，相当于收集1s
x = sin(2 * pi * 10 * t); % 原始正弦信号频率为10Hz，振幅为1
添加突变点
第二步是人工添加突变点，暂时不添加噪音，以便看起来直观。在这里，我们添加了两个突变点，并在原始基础上增加了第233点的幅度.5，将第666个点的幅度在原本基础上增加0.添加后的代码和信号图像如下：
x(233) = x(233) 0.5;
x(666) = x(666) 0.1;
可可以看到一个突变点很明显，而另一个则不那么明显。肉眼可能会忽略这个突变点。
傅里叶转换信号
有人可能会问，既然我们做的是小波变换，为什么要做傅里叶信号变换呢？事实上，我们真的不需要做傅里叶变换，但为了比较小波变换，分析各自的优缺点，让我们看看傅里叶变换的突变信号。
Y = fft(x,1024);
f = Fs * (0 : (L / 2)) / L;
P2 = abs(Y / L);
P1 = P2(1 : L / 2 1);
plot(f,P1)
title(单边幅度频谱的突变信号)
xlabel('f(Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
axis([0,100,0,0.5])
补充
让我们再给一个原始信号fft比较范围谱。从肉眼上看，我们可以发现原始信号与添加突变信号的频域没有太大区别，但突变信号的频谱在高频部分抖动较多。因此，从傅里叶转换的频域检测突变信号是不合适的。具体原因总结在第二部分，主要是由两个转换选择基础的差异引起的。
小波变换信号
亮点小波变换，这里我们使用两种小波变换方法来检测突变点，一种是连续的小波变换；另一种是离散的小波变换，这里只会简要解释图像，可以结合第二部分原理一起查看。
连续小波变换
连续小波变换突变信号，实现代码和图像如下：
cw1 = cwt(x,1:32,'sym2','plot'); % 连续小波变换信号
title(连续小波变换)；
cwt(Continuous wavelet transform)函数表示连续小波变换，主要处理一维数据，如我们的数据。参数x是输入信号；1:32表示尺度参数Scales取值范围为(1:32)；sym说明我们用的小波是sym2小波；'plot意思是画出连续小波变换系数。运行图像如下：
与只有w一个自变量的傅里叶变换不同，小波变换有两个自变量，即a和b(位移参数)。从上图可以看出，小波位移到第233点和第666点，a小时可以看到较亮的白条，暂时可以理解为小波在这个位移和尺度上与信号密切相关。小波与信号相关性在某个位置激增的原因是信号在这个位置突变，所以我们愉快地找到了两个突变点的位置。
离散小波变换
由于连续小波变换的位移参数(b)和尺度参数(a)它们是连续的，特别是尺度参数的连续变化，会带来巨大的计算量，所以使用离散波变换来处理信号，这里主要是代码和图像，第二部分的具体实现原理。
[d,a]=wavedec(x,3,'db4'); 3层离散小波分解原始信号
a3=wrcoef('a',d,a,'db4',3); 获得第三层近似系数的%
d3=wrcoef('d',d,a,'db4',3); 第三层细节系数%
d2=wrcoef('d',d,a,'db4',2); 第二层细节系数%
d1=wrcoef('d',d,a,'db4',1); 第一层细节系数%
subplot(411);plot(a3);ylabel(近似信号a3'); %画出每层小波系数
title(小波分解示意图)；
subplot(412);plot(d3);ylabel细节信号d3');
subplot(413);plot(d2);ylabel细节信号d2');
subplot(414);plot(d1);ylabel细节信号d1');
xlabel(时间)；
wavedec(wavelet decomposition)函数表示离散多辨小波分解，x是待处理的输入信号；3表示三层分解，'db4'也是一个小波的名字。处理后得到1、2、3层的细节系数(details)与第三层相似(Approximations)。画出这些系数的图像如下：
从上图可以清楚地看出，除了开头和结尾的一些较大点外，第1、2、3层的细节信号中最大值是第233点和第666点，因此可以愉快地确定这两点是突变信号的位置。
这里也可以稍微注意一下近似信号a3，它类似于原始信号滤去了高频成分的样子，它是怎么得来的你看了第二部分就知道了！
总结
在这一部分，我们直接抓住关键点，知道如何通过小波变换检测信号的突变点，MATLAB使用的函数是爽有木有。但是，应用程序是一回事。我们最好尽可能多地了解小波变换的原理。小波是如何构造的，它的性质是什么？连续小波变换的图像是怎么计算出来的呢?如何计算离散小波变换的每一层？只有学习了它们背后的数学公式，我们才能真正理解它。
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