差分运算及延迟算子

两个序列值之间的减法操作称为差分操作。 ? x t \nabla x_t ?xt为 x t x_t xt一阶差： ? x t = x t ? x t ? 1 \nabla x_t=x_t-x_{t-1} ?xt=xt?xt?1 一阶差分后的序列再次差分称为二阶差分。 ? 2 x t = ? x t ∇ x t − 1 \nabla^2 x_t=\nabla x_t-\nabla x_{t-1} ∇2xt​=∇xt​−∇xt−1​ 以此类推，对p-1阶差分序列再进行一次差分为p阶差分。 ∇ p x t = ∇ p − 1 x t − ∇ p − 1 x t − 1 \nabla^p x_t=\nabla^{p-1} x_t-\nabla^{p-1} x_{t-1} ∇pxt​=∇p−1xt​−∇p−1xt−1​

相距k期的两个序列值之间的减法运算称为k步差分运算。记 ∇ k x k \nabla_k x_k ∇k​xk​为 x k x_k xk​的k步差分： ∇ k x k = x t − x t − k \nabla_k x_k=x_t-x_{t-k} ∇k​xk​=xt​−xt−k​

当前序列值乘以延迟算子，相当于把当前序列值的时间变为了上一个序列值的时间。记B为延迟算子，则有： x t − 1 = B x t x_{t-1} = Bx_t xt−1​=Bxt​ x t − 2 = B 2 x t x_{t-2} = B^2x_t xt−2​=B2xt​ 以此类推，有 x t − k = B k x t x_{t-k} = B^kx_t xt−k​=Bkxt​

（1） B 0 = 1 B^0=1 B0=1 （2）若c为任意常数，则 B ( c ∗ x t ) = c ∗ B x t = c ∗ x t − 1 B(c*x_t)=c*Bx_t=c*x_{t-1} B(c∗xt​)=c∗Bxt​=c∗xt−1​ （3）对于任意两个序列 { x t } 和 \{x_t\}和 { xt​}和{y_t}，有 B ( x t ± y t ) = x t − 1 ± y t − 1 B(x_t \pm y_t)=x_{t-1} \pm y_{t-1} B(xt​±yt​)=xt−1​±yt−1​ （4） B n x t = x t − n B^nx_t=x_{t-n} Bnxt​=xt−n​ （5） ( 1 − B ) n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i C n i B i （ 二 项 式 定 理 ） (1-B)^n=\sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^iB^i（二项式定理） (1−B)n=∑i=0n​(−1)iCni​Bi（二项式定理）

∇ p x t = ( 1 − B ) p x t = ∑ i = 0 p ( − 1 ) i C p i x t − i \nabla^p x_t=(1-B)^px_t=\sum_{i=0}^p(-1)^iC_p^ix_{t-i} ∇pxt​=(1−B)pxt​=i=0∑p​(−1)iCpi​xt−i​

∇ k x t = ( 1 − B k ) x t \nabla_k x_t=(1-B^k)x_t ∇k​xt​=(1−Bk)xt​